Сведения о матрицах, минимально необходимые для изучения ФА

Матрицей называется прямоугольная или квадратная таблица чисел, рассматриваемая безотносительно к тому, что именно представляют собой эти числа и существуют ли между ними какие-то заранее определенные зависимости. Вертикальный ряд чисел, расположенных в матрице одно над другим, называется столбцом, горизонтальный ряд чисел – строкой. Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. В тех случаях, когда нужно обозначить какие-либо элементы матрицы, им приписываются соответствующие индексы, первый из которых указывает номер строки, а второй – номер столбца, в котором находится данный элемент.

Схема 1. Квадратная матрица 4Х4

 

Таким образом, в квадратной матрице, показанной на схеме 1, символ а₂₃ обозначает элемент, находящийся на пересечении второй строки и третьего столбца. Вся матрица обозначается буквой А. С обеих сторон матрица ограничивается двумя вертикальными линиями. О матрице, имеющей т строк и п столбцов, говорят, что ее порядок составляет т х п. Квадратная матрица п х п имеет порядок п.

Общий элемент матрицы записывается в виде аij где i (индекс строки) может принимать последовательные значения 1, 2, 3,..., т, а j (индекс столбца) может принимать последовательные значения 1, 2, 3,..., п.

Транспонирование матрицы

Это важное понятие, часто встречающееся в факторном анализе. Представим себе, что строки матрицы А становятся столбцами, в результате чего возникает новая матрица, которая будет транспонированной по отношению к А. Обозначим новую матрицу А'. Приведем пример транспонирования матрицы

 

А

Схема 2. А^/ - транспонированная матрица А

 

Симметрическая матрица

Если матрица А квадратная и совпадает с транспонированной к ней матрицей, то матрица А симметрична. Другими словами, квадратная матрица А симметрична, если А' = А. Пример симметрической матрицы дает схема 3.

 

Схема 3. Симметрическая матрица

 

Если элементами матрицы являются коэффициенты корреляции данной совокупности переменных, то эта матрица – симметрическая. В факторном анализе, как правило, встречаются именно такие ситуации.

Умножение матриц

Матрицы можно умножить друг на друга. Операция умножения часто встречается в факторном анализе и поэтому мы обсудим ее подробнее. Не вдаваясь глубоко в теорию вопроса, ограничимся описанием практических правил умножения матриц.

Правила эти гораздо сложнее правил умножения в арифметике. Первое отличие между умножением в арифметике и в матричной алгебре состоит в том, что при умножении матриц не действует закон коммутативности, в соответствии с которым произведение не зависит от порядка, в котором стоят сомножители. Если умножаются матрицы, их произведение в общем случае зависит от этого порядка. Другими словами, А В ¹ В А.

Для умножения матрицы А на матрицу В необходимо выполнение следующего условия: матрица А должна иметь столько столбцов, сколько строк в матрице В. Сам процесс умножения исходит из правила «строка на столбец». Это правило означает, что каждый элемент матрицы-произведения представляет собой сумму произведений от умножения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца -второй матрицы.

Таким образом, элемент, стоящий на пересечении второй строки и третьего столбца матрицы С, образуется путем последовательного умножения элементов второй строки матрицы А на соответствующие элементы третьего столбца матрицы В и суммирования произведений. В приведенном примере каждый элемент матрицы-произведения представляет собой сумму двух произведений. Если бы матрица А имела 3 столбца, а матрица В – три строки, то каждый элемент матрицы-произведения являлся бы суммой трех произведений.

Матрица, представляющая собой произведение двух матриц, будет иметь всегда столько строк, сколько их было в первой матрице, и столько столбцов, сколько их было во второй матрице. Если матрица порядка (р х а) умножается на матрицу порядка (q х г), то их произведение будет иметь порядок (р х г).