Теоретические основы начального курса математики

Раздел I. Общие понятия математики.

Тема 1. Множества и операции над ними.

Множества. Множества в начальной школе. Способы задания множеств. От­ношения между множествами. Круги Эйлера.

Объединение и пересечение множеств. Законы этих операций. Законы, связы­вающие объединение и пересечение. Связь этих законов с законами на множестве ZO.

Разность множеств. Дополнение подмножества. Разбиение множества на клас­сы.

Понятие упорядоченной пары. Декартово произведение двух множеств. Изо­бражение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плос­кости.

Теме 2. Математические понятия, их особенности.

Объём и содержание понятия. Связь между объемом и содержанием понятия. Родовые и видовые понятия.

Определение понятий. Явные и неявные определения.

Определение понятий через род и видовые отличия. Требования к определе­нию понятий через род и видовые отличия. Требования к определению понятий че­рез род и видовые отличия.

Определение в начальной школе.

умы, операции над ними).

Понятие высказывания. Простые и составные высказывания. Определение

значения истинности составных высказываний.

Понятие высказывательной формы (предиката). Высказывания с кванторами. Определение их значения истинности и построения отрицаний.

Высказывания и высказывательные формы в начальной школе.

Отношения логического следования и равносильности между предикатами. Необходимые и достаточные условия.

Тема 4. Умозаключения и доказательства.

Понятие умозаключения.

Дедуктивное умозаключение.

Правила заключения, отрицания, силлогизма.

Неполная индукция, аналогия.

Строение и виды теорем.

Правила в начальной школе.

Тема 5. Соответствие между элементами двух множеств.

Понятие соответствия между элементами двух множеств. Способы задания

соответствия.

Соответствие, обратное данному. Взаимно однозначные соответствия. Равно-мощные множества.

6. Числовые функции. Прямая, обратная пропорциональности, их свой-

Определение числовой функции. Способы задания функции.

Возрастание и убывание функции на промежутке. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач.

Тема 7. Отношения на множестве и их свойства.

Понятие отношения на множестве. Способы задания отношений. Свойства отношений. Отношения эквивалентности и порядка. Связь отноше­ния эквивалентности с разбиением множества на классы. Отношения и соответствия в начальной школе.

зв

Тема 8. Уравнения и неравенства с одной переменной.

Числовые равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств.

Понятие уравнения с одной переменной. Корень уравнения. Равносильные ус­ловия.

Теоремы о равносильных уравнениях.

Понятие неравенства с одной переменной. Решение неравенства. Равносиль­ные неравенства.

Теоремы о равносильных неравенствах.

Уравнение и неравенства в начальной школе.

Тема 9. Текстовая задача и процесс её решения.

Понятие текстовой задачи, её структура. Методы и способы решения текстовых задач.

Основные этапы решения задачи (анализ, поиск плана, его выполнение, про­верка) и приёмы выполнения этих этапов.

Моделирование в процессе решения задачи.

Раздел П. Натуральные числа и нуль.

Тема 1. Теоретике - множественный подход к построению множества нату­ральных чисел.

Теоретико - множественный смысл количественного натурального числа и нуля. Порядковые и количественные натуральные числа. Отрезок натурального ря­да.

Множество ZO. Отношение "равно" и "меньше" на ZO их свойства.

Свойства множества ZO.

Теоретико - множественный смысл сложения ц. н. ч. Законы сложения.

Теоретико - множественный смысл разности ц. н. ч. Существование и единст­венность разности. Связь сложения и вычитания ц. н. ч.

Теоретико - множественный смысл произведения ц. н. ч. законы умножения.

Теоретико - множественный смысл частного натурального числа и ц. н. ч. Существование и единственность частного.

Невозможность деления на нуль.

Деление с остатком.

Тема 2. Смысл натурального числа как меры величины и действий над числа­ми, являющимися мерами величин.

Величина как свойство объектов и явлений окружающего мира. Сложения и вычитание однородных величин, их сравнение. Умножение величины на число.

Измерение величин. Единицы величин (длины, площади, массы и др.). Натуральное число как мера величины.

Смысл сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел, полу­ченных при измерении величин.

Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисле­ния.

Десятичные системы счисления. Запись и чтение чисел в десятичной системе

счисления.

Алгоритмы арифметических действий над многозначными числами в десятич­ной системе счисления и их теоретическое обоснование.

Тема 4, Делимость целыж неотрицательных чисел.

Понятие отношения делимости, его свойства.

Делимость суммы, разности и произведения на число.

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 9 в десятичной системе счисления.

Раздел III. Расширение понятия числа.

Тема 1, Положительные рациональные числа.

Задача расширения множества 20. Понятие дроби, равенство дробей. Основ­ное свойство дроби. Сокращение дроби, приведение дробей к общему знаменателю.

Понятие положительного рационального числа. Множество положительных рациональных чисел и его свойства. Сравнение положительных рациональных чи­сел.

Определение арифметических операций над положительными рациональными

числами, свойства действий над положительными рациональными числами.

Множества положительных рациональных чисел как расширение множества

натуральных чисел.

Понятие десятичной дроби. Запись, чтение и сравнение десятичных дробей.

Множество положительных рациональных чисел как множество бесконечных десятичных периодических дробей.

Тема 2, Действительные числа.

Необходимость расширения множества положительных рациональных чисел.

Понятие положительного иррационального числа. Множество положительных действительных: чисел. Операции на множестве положительных действительных чисел. Понятие отрицательного действительного числа. Множество действительных чисел.

Раздел IV. Геометрические величины и их измерение.

Тема 1. Основные понятия геометрии.

Понятие геометрического тела, поверхности, линии, точки. Геометрические фигуры: отрезок, луч, выпуклый многоугольник и его виды, окружность и круг, их свойства.

Тема 2. Длина отрезка, площадь фигуры, нх измерение.

Понятие отрезка. Понятие длины отрезка и её измерение. Свойства длины. Стандартные единицы длины. Построение отрезка заданной длины.

Понятие площади фигуры и её измерения. Свойство площади. Равновеликие и равносоставленные фигуры.

Площадь многоугольника, площадь криволинейной фигуры и её измерение. Палетка.

Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, круга.

Перечень вопросов

1. Пересечение и объединение множеств. Свойства этих операций. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.

2. Особенности математических понятий. Объём и содержание понятия. Отно­шения между понятиями. Отношения рода и вида, целого и части.

3. Определение понятия. Виды определений. Структура определения через род и видовое отличие. Основные требования к таким определениям. Остенсивные и контекстуальные определения.

4. Понятие высказывания. Элементарные и составные высказывания. Определе­ние значения истинности составных высказываний. Высказывания в началь­ной школе.

5. Понятие высказывательной формы. Высказывания с кванторами. Способы ус­тановления значений истинности таких высказываний. Построение отрицаний высказываний с кванторами.

6. Отношения логического следования и равносильности между высказыватель-ными формами. Необходимые и достаточные условия.

7. Понятие соответствия между двумя множествами. Способы задания соответ­ствия. Соответствия в начальной школе.

8. Соответствие, обратное данному. Взаимно однозначные соответствия. Равно-мощные множества.

9. Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания отношений, их свойства: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисим­метричность, транзитивность.

Ю.Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка.

11,Определение числовой функции. Прямая пропорциональность, её свойства и график. Использование свойства прямой пропорциональности при решении текстовых задач.

12.Чйсловые равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств. Числовые равенства и неравенства в начальной школе.

13.Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Равносильность уравне­ний. Теоремы о равносильности уравнений (доказательство одной из них по выбору студента). Способы решения уравнений в начальной школе.

Н.Определение числовой функции. Обратная пропорциональность, её свойства и график. Использование свойства обратной пропорциональности при решении текстовых задач.

15.Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Равносильность не­равенств. Теоремы о равносильности неравенств (доказательство одной из них по выбору студента). Решение неравенств в начальной школе. 16.Теоретико - множественный смысл количественного натурального числа и нуля, отношений "равно" и "меньше" между натуральными числами. Свойства этих отношений. Множество целых неотрицательных чисел. 17.Теоретике - множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Существование и единственность суммы целых неотрицательных чисел. Свойства сложения (доказательство одного из них по выбору студента). 18.Теоретике - множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел. Определение вычитания как операции, обратной сложению. Существо­вание и единственность разности.

19.Теоретике — множественный смысл произведения двух целых неотрицатель­ных чисел. Существование и единственность произведения. Свойства умно­жения (доказательство одного из них по выбору студента).

20. Теоретико-множественный смысл частного двух натуральных чисел. Опре­деление деления как операции, обратной умножению. Существование и един­ственность частного. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком. 21.Величина как свойство объектов и явлений окружающего мира. Виды вели­чин. Измерение величин. Свойство аддитивности скалярных величин. Дейст­вия с однородными и неоднородными величинами.

22.Натуральное число как мера величины. Смысл сложения, вычитания, умноже­ния, деления натуральных чисел, полученных при измерении величин. 23.Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисле­ния. Десятичная система счисления. Запись и чтение чисел в десятичной сис­теме счисления. 24.Алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления и

его теоретическое обоснование. 25.Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления и

его теоретическое обоснование. • • '

26.Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления и

его теоретическое обоснование. 27.Понятие отношения делимости, его свойства. Делимость суммы, разности и

произведения на число (доказательство одной из них по выбору студента). 28,Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5,9 в десятичной системе

счисления (доказательство одного из них по выбору студента). 29.Понятие дроби. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение

дроби и приведение дробей к общему знаменателю. 30.Понятие положительного рационального числа. Множество положительных

рациональных чисел и его свойства. Сравнение положительных рациональных

чисел.

31.Сложение и вычитание положительных рациональных чисел. Существование и единственность суммы и разности. Свойства сложения (доказательство од­ного из них по выбору студента).

32.Умножение и деление положительных рациональных чисел. Существование и единственность произведения и частного. Свойства умножения (доказательст­во одного из них по выбору студента).

33.Понятие длины отрезка и её измерения. Построение отрезка заданной длины. Понятие площади фигуры и её измерения. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Площадь прямоугольника. Палетка.