Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Две индуктивно связанные катушки с сопротивлениями , и индуктивностями соединены последовательно. Возможны два вида включения: согласное и встречное.

а) б)

Рисунок 10.2

 

Согласное включение. При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент времени направлены одинаково относительно одноименных выводов (рисунок 10.2,а). Поэтому потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе складываются

, .

Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов при согласном включении равна

(10.8)

Напряжение на зажимах первой и второй катушках в комплексной форме

, (10.9)

. (10.10)

Напряжение на зажимах цепи (рисунок 10.2,а)

(10.11)

где - входное сопротивление цепи при согласном включении;

;

;

.

Векторная диаграмма для согласного включения показана на рисунке 10.3,а.

Встречное включение. При встречном включении токи в обоих элементах в любой момент времени направлены различно относительно одноименных выводов (рисунок 10.2,б). Поэтому потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе вычитаются , . Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов при встречном включении равна

(10.12)

Напряжение на зажимах первой и второй катушках в комплексной форме

, (10.13)

. (10.14)

Напряжение на зажимах цепи (рисунок 10.2,б)

(10.15)

где - входное сопротивление цепи при встречном включении;

;

.

Векторная диаграмма для встречного включения (при и ) показана на рисунке 10.3,б.

 

а) б)

Рисунок 10.3

 

 

Расчёт разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности

Для разветвлённых цепей с индуктивными связями применяются законы Кирхгофа и метод контурных токов. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа э.д.с. взаимной индукции учитывается как соответствующее напряжение на элементе К, обусловленное током в элементе S. Напряжение записывается с положительным знаком, если направление обхода элемента К и положительное направление тока в элементе S одинаковы относительно одноимённых выводов.

Рисунок 10.5

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для схемы (рисунок 10.5).

}(10.20)

 

1 Резонанс напряжений

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Где

 

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а, следовательно, .

2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, .

3. - случай резонанса напряжений Условие резонанса напряжений ,

при этом .

При резонансе напряжений ток в цепи наибольший . Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Как показывает анализ уравнения , режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. для резонансной частоты можно записать

Добротность Q определяется отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе в режиме резонанса к входному напряжению Добротность характеризует “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания . Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением Тогда добротность Затухание величина обратная добротности Зависимость реактивного сопротивления контура от частоты (рисунок 11.3), где , .

Зависимость полного сопротивления контура от частоты , (рисунок 11.4).До резонанса характер сопротивления контура активно- емкостной, при резонансе активный, после резонанса активно- индуктивный.

 

Зависимость - амплитудно - частотная характеристика (АЧХ),

 

Зависимости , ,

 

Зависимость - фазо- частотная характеристика (ФЧХ),

 

Резонанс токов

Резонанс токов возникает в параллельном колебательном контуре при условии, что входная реактивная проводимость , .

При резонансе токов общий ток наименьший и совпадает с напряжением на входе (рисунок 12.2) , .

Добротность контура где -активное сопротивление контура;

- полоса пропускания. .

 

Резонансная частота параллельного колебательного контура По условию резонанса токов

где ,

Решая совместно, получим

Резонанс токов возможен при , если:

а) R₁>r; R₂>r R₁<r; R₂<r;

б) R₁=R₂¹r или R₁<< r и R₂<< r.

В случае, когда R₁=R₂=r получаем неопределенность, т.е. может быть любое значение резонансной частоты.

Резонанс, не при какой частоте не возникает, если R₁>r, а R_2<r или наоборот.

Сопротивление параллельного колебательного контура

Эквивалентное сопротивление параллельного колебательного контура

где X=X_L-X_C; R₁<< X_LR₂ << X

После преобразования

Найдем для эквивалентной схемы

Частотные характеристики идеального параллельного контура

 

Так как то в этом случае резонансная частота

Проводимость катушки , проводимость конденсатора в=в_L- в_с

 

Так как ток I=/в/ U, значит в соответствующем масштабе резонансная кривая тока это график .

Угол , график