Фильтрация, как операция выполняемая измерительными приборами.

 

В общем смысле частичная или полная фильтрация означает создание препятствий для прохождения сигналов или каких-либо объектов.

Фильтрация может быть во временном или частотном представлении.

Временная фильтрация – это операция прерывания или ослабления сигнала в течении некоторого промежутка времени.

Частотная фильтрация действует в частотном диапазоне аналогично временной.

 

Например:

Если устройство пропускает сигнал в частотном представлении: ׀ν-ν₀׀<∆ν, то устройство пропускает частотную полосу шириной 2∆ν.

 

 

Временная

Входной сигнал

f(t)=1, ׀t-t0׀<T пропускающий f(t)=0, ׀t-t0׀>T Выполняем умножение, накладывание

x(t)

t

t0

t0

t

t0-t

t0+T

f(t)

t

Обрезающий

пропускающий

x(t)

t

t

 

 

Действие фильтра

 

X(t) – исходный сигнал. f(t) – временной фильтр пропускания в диапазоне ׀t-t₀׀<T

x (t)=x(t)t(t) Временной фильтр действует как временной умножитель

X(ν)=ν(ν)Fν Частотный фильтр действует как частотный умножитель

 

Частотный фильтр во временном представлении соответствует теореме Планшереля.

Частотный фильтр во временном представлении соответствует операция свертка

Использование: Во всех приборах.

**Либо можно записать вот этот ответ на вопрос

В общем смысле частичная или полная фильтрация означает создание препятствий для прохождения каких-либо объектов.

Временная фильтрация – это операция прерывания или ослабления сигнала в течении некоторого промежутка времени.

Частотная фильтрация действует в частотном диапазоне аналогично временной. Напр, в результате частотной фильтрации могут обрезаться частоты в диапазоне ׀ν-ν₀׀<ν (обрезание полосы) или пропускаться частоты ׀ν-ν₀׀<Δν (пропускание полосы).

f(t)

x(t)

Входной сигнал

f(t)=1, ׀t-t0׀<T пропускающий f(t)=0, ׀t-t0׀>T Выполняем умножение, накладывание

e(t)

t

t0

t0

t

t0-t

t0+T

f(t)

t

Обрезающий

пропускающий

x(t)

t

t

Результирующий сигнал x(t)=e(t)f(t) (произведение входного сигнала на функцию фильтра)

Временной фильтр - временной умножитель.

Частотный фильтр - частотный умножитель.

Пусть e(t) – входной сигнал, а f(t) – временной фильтр. В результате временной фильтрации получаем сигнал e(t)f(t). Пусть

e(t) ↔E(ν)

f(t) ↔F(ν) отсюда следует по т.Планшереля x(t) ↔X(ν)

X(ν)= E(ν)*F(ν)

 

аналогично фильтр в частотном представлении являетсяся умножителем, тогда для частотного фильтра во временном представлении x(t)=e(t)*f(t)

Дискретизация.

Современные мед.приборы – цифровые, все измерения производятся в дискретные промежутки времени. Математически записываются процедурой дискретизации.

Математическая дискретизация производится с помощью гребневой функции Дирака.

Ш_Те= δ(t-kT_e) (1)

Ш_Те – гребневая функция Дирака.

x(t)

Te

2Te

x(2Te)

(N-1)Te

Te

x(Te)e

Ф-образ гребневой ф-ии Дирака

TFШ_Те=Fe δ(ν-nFe)=Ште (2)

Следовательно, гребневая функция Дирака является гребневой ф-ей.

 

Пусть непрерывный сигнал х(t) имеет Фурье образ Х(ν), т.е. х(t)↔Х(ν).

В результате дискретизации получаем сигнал:

(3)

T_e - шаг дискретизации

На основании теоремы Планшереля Ф-образ дискретизированного сигнала равен свертке Ф-образов исходного сигнала и Ф-образа гребневой функции Дирака

 

Ш_Те(ν) ↔ Ш_Те

(4)

Выполняем операцию свертка.

Меняем порядок, интегрируем

(5)

=> спектр дискретизируемого сигнала представляет собой периодическую функцию с периодом Fe.

 

Теорема дискретизации Шеннона.

Пусть входной сигнал x(t) имеет Фурье образ X(ν), т.е. х(t)↔Х(ν).

Спектр сигнала называется ограниченным, если Х(ν)=0., при |ν|≥F_M, где F_M – максимальная частота спектра, тогда процедура дискретизации не искажает спектр сигналов, если частота дискретизации Fe≥2 F_M.

Доказательство:

Исходный сигнал имеет Ф-образ X(ν).

(1)

Из формулы (1) следует, что Ф-образ дискретизированного сигнала является периодическим, с периодом F_e.

Fe

-Fe+FM

-Fe

-FM

FM

Fe+FM

Fe-FM

(ν)

ν

Ветви спектра периодического сигнала не перекрываются, если Fe≥2 F_M, т.о. спектр не искажается.