Ограниченные и неограниченные последовательности.

 

Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

 

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

 

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

 

В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к при n®¥.

 

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

 

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

 

Предел функции в точке.

 

Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что 0 < ïx - aï < D верно неравенство

ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

 

Определение:

Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева,

а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х=а.

 

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

 

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

Записывают:

 

Графически можно представить:

 

Основные теоремы о пределах.

 

1. , где С = const.

 

1. 

 

1. 
2. при

 

Бесконечно малые функции.

 

Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, если .

 

Свойства бесконечно малых функций:

 

1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

 

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

 

Функция называется бесконечно большой при х®а, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

 

Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥) и не обращается в ноль, то

Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

 

Некоторые замечательные пределы.

 

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел

Кроме изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

 

 

Из замечательных пределов следует, что:

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Вычисление пределов.

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

При вычислении пределов необходимо избавиться от неопределенности.

, где , - многочлены.

 

Итого:

Формулы сложения аргументов

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2; x2 = (8 – 4)/2 = 2;

Пример. Найти предел.

 

домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

= .

 

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел .

 

Разложим числитель и знаменатель на множители.

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда

 

 

Непрерывность функции в точке.

 

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

 

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

 

Пример непрерывной функции:

Пример разрывной функции: