Уравнение прямой в отрезках.

 

,

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

 

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

, а = -1, b = 1.

 

Угол между прямыми на плоскости.

 

Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

K1 = -3; k2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Расстояние от точки до прямой.

 

Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

 

Кривые второго порядка.

- уравнение эллипса.

- уравнение гиперболы.

– уравнение параболы.

– уравнение окружности радиуса с центром в точке .

 

Уравнение линии в пространстве.

 

Пусть F(x, y, z)=0 и Ф(x, y, z)=0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

Тогда пара уравнений

называется уравнением линии в пространстве.

 

Угол между плоскостями.

 

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

 

 

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

 

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 

плоскости перпендикулярны, если: .

Плоскости параллельны, если: .

 

Полярная система координат.

Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

 

угол j называется полярным углом.

 

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

 

x = rcosj; y = rsinj;

 

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

ОМ1 = r; MM1 = h;

Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q).

 

Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

 

Сферическими координатами точки М называются числа (r,j,q), где j - угол между r и нормалью.

 

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат:

h = z; x = rcosq; y = rsinq;

cosq = ; sinq = .

 

Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной:

Комплексные числа.

 

Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

 

Числа и называются комплексно-сопряженными.

 

Два комплексных числа и называются равными, если

 

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная ‑ мнимой осью.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

 

Тригонометрическая форма числа.

 

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

Действия с комплексными числами.

 

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1. Сложение и вычитание.

1. Умножение.

В тригонометрической форме:

,

1. Деление.

 

1. Возведение в степень.

,
где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.

 

1. Извлечение корня из комплексного числа.

 

Таким образом, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

 

Показательная форма комплексного числа.

 

Рассмотрим показательную функцию

 

Данное равенство называется уравнением Эйлера. Из него можно получить:

Математический анализ.

 

Числовая последовательность.

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число , то говорят, что задана последовательность