Производные и дифференциалы высших порядков.

 

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

 

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

 

Возрастание и убывание функций.

 

Теорема.

1. Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума.

 

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

 

Следствие. Обратное утверждение неверно.

 

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

 

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

 

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

 

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

 

1. Найти критические точки функции.
2. Найти значения функции в критических точках.
3. Найти значения функции на концах отрезка.
4. Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

 

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.

 

Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум, если f¢¢(x1)>0.

 

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

 

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

 

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

 

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

Асимптоты.

 

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

 

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 

 

Вертикальные асимптоты:

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

 

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

 

Наклонные асимптоты:

 

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту

y = kx + b.

 

.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х=0 вертикальная асимптота.

 

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты.

 

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

 

 

Схема исследования функций

 

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1. Область существования функции.
2. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
3. Точки разрыва. (Если они имеются).
4. Интервалы возрастания и убывания.
5. Точки максимума и минимума.
6. Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
7. Области выпуклости и вогнутости.
8. Точки перегиба.(Если они имеются).
9. Асимптоты.(Если они имеются).
10. Построение графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

 

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

y¢	+	‑	‑	‑	‑	+
	↑	↓	↓	↓	↓	↑
y¢¢	‑	‑	+	‑	+	+
	∩	∩	U	∩	U	U

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

 

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты y = x.

Построим график функции: