Исследование операций. Часть 1.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЧАСТЬ 1.

(Конспект лекций)

 

Тема 2. Слабоструктурированные многокритериальные задачи ИО. Ранжирование и оптимизация решений. Формальные методы скаляризации векторного критерия. Их сравнительная оценка. (8 ч., СРС 2 ч)

Критерий эффективности системы.

Формирование критерия оценки качества принимаемых решений является одной из основных задач в процессе управления любым объектом. При этом различают два аспекта управления: оптимизация, т.е. поиск решений, доставляющих максимум или минимум выбранному критерию, и ранжирование, т.е. упорядочение решений в порядке убывания или возрастания значений критерия. Выбор максимума или минимума определяется содержательным смыслом критерия.

Если критерий системы выбран, то цель управления сформулирована.

Для нахождения оптимального (или рационального) управления (решения) необходимо установить зависимость между выбранным критерием эффективности и факторами, влияющими на его величину.

В общем виде критерий эффективности W может быть записан следующим образом

 

W = Ф (U,S, C) (1)

 

где:

ф – некоторый функционал

U - вектор управления. U= f(u₁,u₂,...u_n),i=1..n

. S - вектор, характеризующий внешнюю среду.

C - вектор, характеризующий процесс (систему.)

Вектор С можно представить в виде:

 

С = Ф(К, Р)

 

где вектор К={k_i} характеризует структуру нашей системы, а вектор P={p_i} является вектором параметров (конкретных числовых характеристик системы)

Выражение (1) можно рассматривать как математическую модель управляемого процесса (системы). C помощью этой модели можно искать оптимальное управление, оптимальную структуру и оптимальные параметры при заданной структуре.

 

U⁰=arg max/min Ф(U,S,C) оптимизация управления

u

K⁰= arg max/min Ф(U,S,C) оптимизацияструктуры (2)

k

P⁰= arg max/min Ф(U,S,C) параметрическая оптимизация

p

 

Критерий эффективности может быть скалярным, т.е. характеризоваться одним единственным числом, или векторным, характеризующимся совокупностью чисел. Это зависит от характера решаемой задачи. Например, при управлении перехватчиком естественно в качестве критерия принять вероятность поражения цели. Если же перед нами стоит задача оценки проекта пассажирского лайнера, то необходимо учитывать совокупность многих его свойств: надежность, скорость, дальность, комфортабельность, рыночную конкурентоспособность и т.п.

В соответствии с характером выбранного критерия принято различать однокритериальные и многокритериальные задачи принятия решений.

В общем случае W_n векторный критерий - W_n={w₁,w₂...w_n}. Его можно рассматривать как n-мерный вектор, или как точку в n- мерном пространстве, где w₁, w₂... w_n ее координаты. Образованное таким образом пространство принято называть критериальным. размерность его равна числу показателей (их часто называют локапьными критериями, в отличие от глобального векторного). Все возможные решения. независимо от их реализуемости, составляют гиперкуб, ребра которого отображают значения соответствующих показателей.

Существенным недостатком векторного критерия является то, что мы не можем решать оптимизационные задачи традиционными регулярными методами, т.к. современный математический аппарат не располагает универсальным способом сопоставления векторов.

Чтобы производить операции оптимизации и ранжирования необходимо скаляризовать векторный критерий. Ниже мы рассмотрим различные способы скаляризации.

В теории принятия решений широко употребителен термин «альтернатива». Этим термином обозначается каждое из несовместных возможных решений отображаемое точкой критериального пространства. Совокупность всех точек представляет собой полное множество альтернатив. Оно содержит как реализуемые, так и не реализуемые решения. Понятие альтернативы удобно тем, что оно обобщает все типы решений независимо от их содержания. В нашем случае альтернативами являются как решения по выбору управления, так и решения по выбору структуры или параметров управляемой системы. В рамках этой терминологии основная задача принятия решений может быть сформулирована как задача оптимизации или ранжирования альтернатив.

Пусть А=(а, а,…а) – множество реализуемых альтернатив. Тогда оптимальная альтернатива запишется в виде

 

а ⁰ = arg max/min W(a)

a

где W(a) - значение критерия при альтернативе а.

 

Способы скаляризации векторного критерия

Выбор главного критерия

Пусть (w₁,w₂,...,w_n)- множество показателей. В соответствии с этим способом лицо принимающее решения (ЛПР) выбирает самый важный показатель w_i. При этом остальные показатели w_j при "j¹i переводятся в ограничения. Для задачи оптимизации альтернатив можно записать:

 

а ⁰=arg max w_i (a), w_j (a⁰) ³(£)c_j при "j¹i

а

Этот способ по существу равносилен отказу от векторного критерия и переходу к скалярному. При этом происходит большая потеря информации, т.к. значения всех критериев кроме главного учитываются только в ограничительном смысле.

 

 

2.2.2. Свертка показателей

Употребительны два метода свертки показателей:

- Аддитивная свертка. Это свертка в виде взвешенной суммы показателей. Такой вид свертки используется чаще.

- Мультипликативная свертка. Критерий представляются в форме некоторого отношения показателей.

2.2.2.1. Критерий среднего взвешенного B этом методе критерий W представляется в виде суммы показателей с весовыми коэффициентами a_i, которые также называются коэффициентами важности. Они отражают ценность i-ого показателя (его важность.) по сравнению с остальными.

Наиболее употребителен следующий вид свертки:

_n

W=å a_i u_i где u_i=w_i/w_{i max (3)}

ⁱ⁼¹

Здесь u_i нормированное значение показателя w_i равное его отношению к максимально возможному. Чем ближе значение u_i к 1, тем выше качество достигнутое по этому показателю. Нормировка вводится потому, что все слагаемые суммы (3) должны иметь одинаковую размерность, иначе их нельзя было бы складывать.

 

Для весовых коэффициентов так же вводится условие нормировки в виде: å a_i=1.Эти коэффициенты назначаются экспертами или ЛПР, либо непосредственно, либо с помощью специальной процедуры называемой “метод парных сравнений”.

В основу метода положена квадратная матрица,строки и столбцы которой отвечают упорядоченным последовательностям показателей. Элементы матрицы а_ij показывают на сколько или во сколько раз (в зависимости от метода) i-й показатель важнее j – го. Обработка заполненной матрицы позволяет получить искомые нормированные коэффициенты важности. Алгоритмы обработки будут рассмотрены особо.

Различают аддитивный и мультипликативный методы парных сравнений. В аддитивном методе определяется, на сколько один показатель важнее другого, причем сумма весовых коэффициентов в каждой паре должна быть равна 1: (a_ij + a_ji = 1). В мультипликативном методе произведение весовых коэффициентов в парах равно 1: (a_ij * a_ji = 1),и соответственно, определяется, во сколько раз один показатель важнее другого.

При непосредственном назначении всех элементов матрицы парных сравнений эксперты или ЛПР могут проявить непоследовательность суждений при сопоставлении отдельных пар, что приведет к несогласованности элементов матрицы и возникновению петель нетранзитивности. В этом случае необходима коррекция сделанных назначений.

Однако, матрицу можно задать лишь первой строкой, и из условий симметрии и нормировки формально определить ее целиком.. Тогда она будет внутренне согласованной.

Таким образом в рассмотренном методе в качестве скаляризованного критерия используется среднее взвешенное значение показателей.

 

 

Метод идеальной точки.

В этом методе векторный критерий W рассматривается как точка в n-мерном пространстве, координаты которой соответствуют значениям показателей. Можно определить следующую последовательность действий:

а) Назначаем по всем показателям лучшие значения, которые могут быть достигнуты. Таким образом, в критериальном пространстве определяется так называемая «идеальная точка», соответствующая абсолютно лучшей альтернативе. Идеальную точку можно назначать как с учетом ее реализуемости, так и без.

Суть метода: вычисляем для каждой альтернативы расстояние до идеальной точки, и оптимальной альтернативой будем считать ту, у который расстояние до идеальной точки. минимально.

Для измерения расстояния до идеальной точки необходимо вводить метрику в критериальном пространстве. Ее можно задавать произвольно, но обычно используют евклидово пространство.

В этом методе скаляризация векторного критерия заключается в замене его расстоянием до идеальной точки.

 

Оптимальность по Парето.

Прежде чем рассматривать данный метод, определим понятие доминирования

Альтернатива А1 доминирует над альтернативой А2, если по всем показателям (локальным критериям) А1 не уступает А2, а хотя бы по одному из них лучше.

Данный метод, рассматривая все множество альтернатив, отбрасывает те из них, которые доминируются хотя бы одной альтернативой. Таким образом создается множество недоминируемых альтернатив. Оно называется Парето оптимальным, и именно из него следует выбирать решение. Итак, поиск решений по принципу Парето-оптимальности дает множество допустимых решений, а не одно единственное..

Для выбора наилучшей альтернативы можно использовать один из рассмотренных выше методов скаляризации, или привлечь дополнительную неформальную информацию о ценности вариантов решений, составляющих Парето-оптимальное множество. Держателем такой информации обычно является лицо, принимающее решения (ЛПР). Именно ЛПР, рассматривая и анализируя недоминируемые альтернативы выбирает ту из них, которая с его точки зрения является оптимальной (точнее рациональной). Если число элементов Парето-оптимального множества сравнительно невелико, то такой выбор ЛПР может и должен произвести. В противном случае вновь в полной мере возникают все трудности оптимизации и ранжирования по векторному критерию. Однако тот факт, что ЛПР подключен к решению задачи в качестве носителя неформальной информации, позволяет поставить вопрос о ее формализации с тем, чтобы, с одной стороны, помочь ЛПР разобраться в своих оценках и,с другой стороны, использовать ее в формализованной процедуре принятия решений. Это можно сделать на основе понятий полезности альтернатив или их относительной предпочтительности.

Полезность

Полезность является индивидуальной оценкой качества альтернатив определяемой ЛПР. Она отображает его систему ценностей на полном множестве альтернатив (можно на реализуемом). Полезность принято измерять в числовой шкале. Обычно в 0-1 или в 0-100. Это дает возможность количественно оценить во сколько или на сколько одно решение полезнее другого с точки зрения ЛПР. Таким образом, назначение полезностей альтернатив можно рассматривать как еще один способ скаляризации векторного критерия.

Содержание понятия полезности легко проиллюстрировать на следующем примере (см. рис.1). Пусть некоторому лицу (по нашей терминологии это ЛПР) предлагается купить билет для участия в лотерее с выигрышем в 100 у.е. Билеты четырех типов. По билету первого типа вероятность выигрыша равна 0,25, второго - 0,5, третьего - 0,75 и четвертого -1. Нетрудно убедиться, что математические ожидания выигрышей по каждому типу билетов соответственны равны: 25, 50, 75 и100 у.е. Согласно общепринятой логике справедливая цена лотерейного билета равна математическому ожиданию выигрыша по нему(прямая 1). Поэтому названные суммы можно рассматривать как объективные полезности билетов. Однако индивидуальные особенности ЛПР могут вносить свои коррективы. Если оно склонно к риску, то вполне может заплатить за билет больше его объективной стоимости в надежде выиграть 100 у.е. Причем, если риск связан с небольшими затратами, то его можно увеличивать. Эта ситуация отражена на рис.1 кривой 2. Если же ЛПР склонно к осторожности и ему даже объективная цена билета кажется чрезмерной, то его оценка полезности участия в лотерее будет соответствовать кривой 3. Наконец, если ЛПР готов рисковать, когда затраты невелики, и проявляет осторожность, когда возрастают, его функция полезности выражается кривой 4.

Вопросы организации процедур назначения полезностей, их свойства и операции над ними рассматриваются в специальном разделе исследования операций «теории полезности».

 

Предпочтения

. Предпочтения определяются в шкале отношений, Обычно используется бинарная шкала. ЛПР сопоставляет попарно совокупности значений показателей (альтернативы) и определяет какая из них предпочтительней или же они равноценны. Таким образом, на множестве альтернатив вводится отношение не строгого порядка, что отвечает их не строгому ранжированию. Многомерная скалярная функция, формализующая это ранжирование, называется функцией предпочтений (ФП) и на ее основе возможно проводить оптимизацию и ранжирование модельно реализуемых альтернатив. Процедуру вычисления ФП можно также рассматривать как способ скаляризации векторного критерия. Более подробно формализация предпочтений в форме ФП будет рассмотрена ниже при описании системы поддержки решений DSS/UTES.

 

Резюме по темам 2 и 3

Во-первых,следует иметь в ввиду, что в разделе рассмотрены далеко не все методы скаляризации векторного критерия. Это относится в первую очередь к таким достаточно распространенным подходам как лексикографические методы, методы основанные на построении кривых безразличия, методы группы «Электра» и т.п (см. например).

Во-вторых, общим свойством всех рассмотренных подходов, как, впрочем, и не рассмотренных, является их зависимость от субъективизма ЛПР. Это проявляется в том, что выбор метода и назначение его необходимых внутренних параметров осуществляется (или, по крайне мере, должно осуществляться) либо непосредственно ЛПР, либо с его участием. Это положение приобретает принципиальный характер, когда речь идет о принятии решений с помощью СППР (системы поддержки принятия решений). Метод скаляризации в СППР может быть «прописан», и если система для ЛПР не прозрачна, то нет никакой уверенности в том, что он отвечает подходу ЛПР. Поэтому ЛПР необходимо понимать основные достоинства и недостатки различных методов скаляризации векторного критерия. Кратко рассмотрим их.

 

Критерий среднего взвешенного. Достоинства

1. Простота формализации

2. Ясный физический смысл

3. Учет индивидуальных представлений ЛПР о задаче при назначении весовых коэффициентов (важностей)

4. Наличие простой формальной процедуры (метод парных сравнений), облегчающей процесс назначения весовых коэффициентов

Недостатки:

1. Неявная взаимная компенсация показателей, которая становится неконтролируемой при большом их числе.

2. Неучет нелинейной зависимости весовых коэффициентов от значений показателей: важности вводятся один раз и остаются постоянными величинами.

 

 

:

 

 

Метод идеальной точки. Достоинства:

1. Компоненты векторного критерия рассматриваются в совокупности (без применения сверток)

2. Четкая формальная постановка

Недостатки:

1. Неявная взаимная компенсация показателей, которая становится неконтролируемой при большом их числе.

2. Произвольный выбор метрики

3. Непредставимость расстояния между двумя точками n-мерного пространства при n>3.

 

 

Метод последовательных уступок. Достоинства:

1. Содержательная простота

2. Учет всех компонент векторного критерия

Недостатки:

1. Необходимость предварительного ранжирования показателей по важности

2 Трудность определения величин уступок

3. Практическая нереализуемость при большом числе показателей

 

Оптимальность по Парето. Достоинства:

1. Метод математически строг и понятен пользователю.

2. Выделяет множество допустимых решений.,

3. Дает возможность ЛПР сосредоточить анализ решений на более узком множестве и выбрать субъективно оптимальное решение.

Недостатки:

1. Применимость метода ограничена мощностью Парето-оптимального множества (когда количество его элементов не превышает 7-10). Если у недоминируемого множества большая мощность, то метод трудно выполним.

 

Свертка по полезности, свертка по предпочтениям. Хотя оба метода можно рассматривать как способ скаляризации векторного критерия, по существу это способы выявления неформальной информации, которой обладает ЛПР. Информации основанной на знаниях, опыте, интуиции и сложившейся на этой основе системе ценностей ЛПР. Внешне они просты для пользователя, однако это далеко не так. Выявление и формализация системы ценностей ЛПР, выражаемрй в виде предпочтений или полезностей требует организации достаточно сложных процедур Одна из таких процедур будет показана ниже на примере СППР DSS/UTES.

Тема 4. Принятие решений в условиях неопределенности. Статистически определенная и статистически неопределенная информационная среда. Нечеткость. Основные понятия теории нечетких множеств (8 ч., СРС 2 ч.).

 

Информационные ситуации.

В зависимости от располагаемой информации будем различать следующие ситуации.

Детерминированная. Она характеризуется полной определенностью и возникает, когда U,S и C известны. точно. Это наиболее простая ситуация. На практике она встречается далеко не всегда, но в силу сравнительно простой алгоритмической и программной реализуемости, к ней стремятся сводить задачи не слишком отличающиеся от детерминированных.

Принципиальным свойством детерминированной ситуации является однозначность прямого отображения принимаемых решений на множестве значений векторного критерия. Правда, эта однозначность может не быть взаимной, т.е. разные решения могут приводить в одну и ту же точку критериального пространства, что означает, что один и тот же результат может быть достигнут различными путями.

Статистически определенная. Эта ситуация возникает, когда хотя бы один из факторов U,S или С является случайной величиной или случайным процессом с известными статистическими характеристиками. В этом случае критерий также представляет собой случайную величину, статистическое описание которой в принципе можно получить, основываясь на модели (1). Т.к. в реальных задачах функционал (1), как правило, достаточно сложен, то чаще всего используется математическое ожидание W.

В этой ситуации отображение принимаемых решений на множестве значений векторного критерия уже не является однозначным, т.к. зависит от того какие значения примут случайные факторы.

Статистически неопределенная. В этой ситуации неконтролируемые факторы не имеют статистического описания, т.е не являются случайными в вероятностном смысле. Статистически неопределенную ситуацию, в свою очередь, можно разделить на две: игровая и нечеткая

.В игровой ситуации известны лишь возможные значения неконтролируемых факторов, которые могут управляться либо сознательным противником (антогонистические игры), либо партнером, действующим по определенным правилам (кооперативные игры), либо не подчиняться никакому сознательному управлению (игры с природой). Для решения игровых задач существует хорошо развитый математический аппарат под названием «Теория игр», основные положения которого будут рассматриваться в конце курса (в части 2).

В нечеткой ситуации неопределенные факторы описываются приближенно. Например, «ошибка измерения примерно 2 мм» (нечеткое число), или «тема исследования актуальна» (нечеткое высказывание или нечеткий лингвистический терм), или «альтернатива А предпочтительнее альтернативы В» (нечеткое отношение). Нечеткие понятия формализуются с помощью нечетких (или размытых) множеств. Основная особенность этих множеств состоит в том, что принадлежность входящих в них элементов утверждается не достоверно, а лишь с некоторой степенью возможности, которую ни в коем случае не следует путать с вероятностью. Численно возможность того, что некоторый элемент x принадлежит нечеткому множеству А, задается с помощью так называемой «функции принадлежности» (ФПр), принимающей значения на множестве (0 – 1). При этом 0 означает, что элемент данному множеству не принадлежит, а 1, что он принадлежит ему достоверно. Заметим, что в случае классических (четких) множеств их функции принадлежности, называемые характеристическими функциями множества, принимают значения либо 0, либо 1. Функции принадлежности могут назначаться экспертами, ЛПР или вычисляться ими с помощью некоторых вспомогательных процедур. Способы назначения ФПр говорят о том, что они имеют субъективный характер, и, следовательно, такой же характер носят решения принимаемые в нечеткой ситуации. Математические операции, производимые над нечеткими множествами, существенно отличаются от своих четких аналогов, и будут рассмотрены ниже.

Детерминированная ситуация.

В детерминированной ситуации оптимальная (наилучшая) стратегия будет та, которая обеспечит скаляризованному критерию W=Ф(U,S,C) максимальное или минимальное (в зависимости от содержательного смысла критерия) значение. Т.к. в данной ситуации каждая стратегия однозначно отображается на множестве альтернатив, то задачу можно сформулировать следующим образом: поиск на полном множестве аьтернатив наилучшей из числа реализуемых. При этом условия реализуемости определяются модельными ограничениями, накладываемыми на переменные и параметры. В то же время рассмотрение полного множества альтернатив создает условия для обеспечения инвариантности процедур оптимизации по отношению к предметной области и модели (последнее особенно важно при обращении к имитационному моделированию).

Субъективные вероятности.

Если рассматривать вероятность как объективную меру, то она не зависит от ЛПР. Но в некоторых случаях удобно назначать вероятности на основе собственных представлений. При этом главное, чтобы выполнялись основные аксиомы теории вероятности. Такие назначаемые вероятности называются субъективными вероятностями. Существуют разные процедуры, помогающие субъекту назначать вероятности. Рассмотрим одну из них.

Метод эталонных лотерей.

Задача: как организовать процедуру назначения субъективной вероятности, чтобы помочь ЛПР.

Пример. Играют две футбольные команды, имеющие сравнительно равные силы. Болельщики делают ставки на предполагаемого победителя. Им предлагается два типа лотереи:

1. Человек делает ставку на команду, исходя из личных симпатий и предыдущих заслуг команды.

2. Есть 100 билетов, из которых, например, 2 выигрышных.

Если человек уверен, что выиграет команда №1, то при малом количестве выигрышных билетов во второй лотереи он будет выбирать первую лотерею. Но по мере увеличения числа выигрышных билетов (от 2 до 80) человек начинает колебаться, в какую лотерею ему сыграть. Каждый раз субъект оценивает вероятность выигрыша 1^ой команды и сравнивает ее с вероятностью выигрыша во второй лотереи при данном количестве счастливых билетов. Если таких билетов 80, и человек при таком количестве начинает выбирать первую лотерею, следовательно, он оценил вероятность выигрыша команды №1 как 80/100. Вторая лотерея называется эталонной, а процедуру называют назначением вероятностей с помощью эталонных лотерей. Момент, когда человеку становится безразлично, какую лотерею выбрать, называется точкой безразличия.

Обычно наряду с прямой лотереей проводят обратную лотерею и смотрят, где в этом случае находится точка безразличия. При этом сумма вероятностей должна быть равна 1, иначе необходима корректировка. Также вероятности следует проверять на транзитивность.

 

 

4.2.3.Статистически неопределенная ситуация.

В статистически неопределенной ситуации, когда случайные факторы не имеют статистического описания, выполнить вероятностное осреднение, или найти вероятность не представляется возможным. По этой причине мы не можем воспользоваться принципом наилучшего среднего результата, или принципом вероятностной гарантии. В этой ситуации используют другие подходы.

Игровая ситуация.. Эта ситуация, как уже говорилось ранее, предполагает наличие двух сторон: оперирующей, в интересах которой ведется поиск решений, и конкурирующей, которая может противостоять оперирующей стороне (антагонистические игры), сотрудничать с ней (кооперативные игры) или же действовать бессознательно (игры с природой).

Пусть U - вектор управления (решений) оперирующей стороны,

S - состояние внешней среды (действия конкурента).

а) Оперирующей стороне известно множество возможных действий конкурента, но неизвестно какое именно он выберет. Если при этом конкурент является антагонистом оперирующей стороны, то разумно использовать принцип наилучшего гарантированного результата. Суть принципа заключается в том, что выбор оптимального решения ведется при наихудших значениях факторов управляемых конкурирующей стороной.

В этом случае оптимальное решение запишется в виде

 

. U⁰ = arg max min W(U,S,C) (8)

u s

 

Ф-ла (8) отражаетпринцип максимина. В соответствии с ним оперирующая сторона выбирает свое решение в предположении, что конкурирующая сторона информирована о ее возможных действиях, и выбирает такое значение фактора S, которое обеспечивает наихудший результат операции, осуществляемой оперирующей стороной.

Рассуждая аналогичным образом, конкурирующая сторона будет выбирать решения, исходя из ф-лы (9), отражающей принцип минимакса.

 

U⁰ =arg min max W(U,S,C)) (9)

s u

 

Обе формулы относятся к случаю, когда обе стороны стремятся к увеличению значений критерия. Если направление критерия изменить, то min и max следует поменять местами.

Рассмотрим ситуацию, когда конкурент помогает оперирующей стороне, т.е. управляемые им факторы принимают значения на множестве, наиболее благоприятные для операции, осуществляемой оперирующей стороной. Тогда оптимальная стратегия запишется в виде:

 

U ⁰ =arg max max W(U,S,C), или arg min min W(U,S,C) (10)

^{u s u s}

Этот подход называют принципом максимакса или минимина в зависимости от смысла критерия.

Применение оперирующей стороной принципа (10) связано с большой степенью риска. Использовать на практике этот принцип в случае противодействия конкурирующей стороны неразумно. Однако принимать решения с некоторой степенью риска все же возможно. В этом случае можно объединить рассмотренные выше стратегии в одну, Эта смесь, основанная на принципе субъективного риска, определяется Формулой Гурвица:

U⁰=arg max [(1-a) minW(U,S,C)+a maxW(U,S,C)] (11)

 

Значения показателя aÎ[0,1] выбирается оперирующей стороной и отражает степень рискованности решения.

При a=0 риск отсутствует и мы получаем принцип максимина, а при a=1 риск наибольший и это принцип максимакса. Его также именуют обобщенным максимином (естественно, что, изменив направление критерия, получим обобщенный минимакс).

Нечеткая ситуация. Наиболее принципиальным моментом, отличающим эту ситуацию от всех предыдущих, является то, что решение носит также нечеткий характер и описывается с помощью функции принадлежности. Иными словами, для принятия окончательного решения надо производить выбор на нечетком множестве. К этой задаче существует несколько различных подходов. Укажем некоторые из них.

а) На нечетком множестве решений выделяется подмножество, для элементов которого значения функции принадлежности не менее, чем а, где «а» - некоторый заданный уровень. На этом подмножестве ЛПР выбирает конкретное решение. Этот подход аналогичен выбору решений на парето-оптимальном множестве. Если функция принадлежности, задающая нечеткие исходные данные, имеет смысл вероятности того, что наудачу выбранный эксперт признает данный элемент принадлежащим нечеткому множеству, то при таком подходе можно утверждать, что решения, принимаемые ЛПР, основываются на данных, поддержанных не менее, чем 100а% экспертов.

б) В качестве оптимального ЛПР выбирает тот элемент нечеткого множества «подходящих» решений, которому отвечает наибольшее значение функции принадлежности. В некотором смысле такое решение можно рассматривать как наиболее надежное.

в) Вычисляется положение центра тяжести фигуры ограниченной функцией принадлежности решений нечеткому множеству «подходящих», и в качестве оптимального, выбирается координата этого центра тяжести.

Помимо указанных существуют и другие подходы к оптимизации решений в нечеткой ситуации. В частности, в / / описан алгоритм нечеткой оптимизации с использованием так называемых нечетких оптимизирующих множеств.

 

 

 

Функции принадлежности

Функции принадлежности нечетких множеств можно назначать или определять различными способами. Рассмотрим некоторые из них.

1. Метод непосредственного назначения. Согласно этому методу ЛПР, пользователь или эксперт назначает на основе своих субъективных представлений значения функции принадлежности (каждую ее ординату). Естественно, что построенная таким образом ФПр носит субъективный характер и практически полностью зависит от квалификации ее автора.

2. Параметрический метод. В этом методе вначале выбирается вид функциональной кривой, описывающей ФПр, а затем назначаются численные значения ее параметров. Преимущество этого метода состоит в том, что он позволяет более явно, по сравнению с предыдущим, учесть результаты содержательного анализа конкретного нечеткого множества. ФПр по-прежнему имеет субъективный характер, но, как показывает анализ, дисперсия ее, определенная на множестве назначений, ниже, чем в предыдущем методе.

3. Вероятностный метод. Можно придать функции принадлежности вероятностный смысл, т.е. полагать, что каждое значение ФПр равно вероятности того, что соответствующий ей элемент принадлежит нечеткому множеству. Так как статистическая информация отсутствует, то этот способ предполагает использование субъективных вероятностей, которые можно назначать, например, с помощью эталонных лотерей, описанных выше.Поэтому субъективный характер ФПр сохраняется. Однако, используя этот метод, мы, в известной мере, уходим от нечеткости и переходим к стохастической задаче.

4. Метод косвенной экспертизы. Здесь предлагается в качестве значений функции принадлежности использовать вероятность того, что на удачу выбранный эксперт признает данный элемент принадлежащим нечеткому множеству. Необходимо подчеркнуть, что эта вероятность принципиально отличается введенной в предыдущем методе. Вычисление этой вероятности может осуществляться, как и выше, ЛПР, пользователем или экспертом. В качестве вычислительной процеуры можно также применять эталонные лотереи. Этот метод дает минимальную дисперсию, что, видимо, объясняется тем, что производящий назначения делает это более собранно, когда перед ним ставится задача оценки не собственного мнения, а мнения третьего лица.

5. Метод предварительного назначения. Согласно этому методу ФПр назначается так, что бы в общих чертах соответствовать описываемому нечеткому множству. На зтой основе создается модель или реальная система, а затем, в процессе анализа, экспериментов или эксплуатации ФПр уточняется с тем, что бы добиться наилучшего результата функционирования, использующей ее системы, Этот метод наиболее эффективен в задачах разработки реальных технических систем, использующих нечеткую логику.

Экспертные системы. Специализированные СППР и оболочки. Краткий обзор современных СППР Субъективность лица принимающего решения. Система поддержки многокритериальных решений ориентированная на предпочтения пользователя (DSS/UTES) (8 ч., СРС 2 ч.).

 

 

Функциональная схема.

 

	Эксперт		Перечень альтернатив		Ранжирование альтернатив

Принципиальная схема СПР DSS/UTES

 

 

 

 

Рис.1

 

На рис.1 показана принципиальная схема системы поддержки решений DSS/UTES

.

Основной и наиболее принципиальной компонентой системы является подсистема UTES. Это подсистема выявления и формализации предпочтений пользователя.

В UTES в диалоге с пользователем производится формирование полного критериального пространства, т.е. определяются компоненты векторного критерия и измеряющие их шкалы. Полное критериальное пространство содержит как реализуемые, так и не реализуемые альтернативы. Оно, в зависимости от решаемой задачи, может быть непрерывным или дискретным. Соответственно в СПР могут решаться как задачи поиска оптимальной альтернативы (на непрерывном множестве), так и ранжирования альтернатив (на дискретном множестве).

Скаляризация векторного критерия в UTES проводится путем свертки по предпочтениям. Эта процедура основана на предположении, что пользователь сравнивая две альтернативы, может установить какая из них с его точки зрения лучше, или же они равноценны. В результате сопоставления всех альтернатив по n-мерному не свернутому критерию в подсистеме UTES строится n-мерная скалярная функция, называемая функцией предпочтений (ФП), и на ее основании осуществляется ранжирование или оптимизация альтернатив.

Функцию предпочтений можно рассматривать как своеобразную модель пользователя. В ней, в отличие от традиционных экспертных систем, моделируется не плохо изученный процесс рассуждений абстрактного человека, а «готовый продукт» рассуждений конкретного пользователя. Поэтому СПР DSS/UTES является системой поддержки решений ориентированной на пользователя, на его индивидуальную систему ценностей.

Функция предпочтений хранится в базе знаний СПР, точнее в той ее части, которую условно можно назвать базой «собственно знаний» в отличие от другой, называемой базой «умений» и содержащей модель предметной области или перечень альтернатив.

Тот факт, что функция предпочтений формируется на полном множестве альтернатив обеспечивает ее универсальность в рамках определенного критериального пространства. Подмножество реализуемых альтернатив задается ограничениями модели. При этом к моделям предъявляется единственное принципиальное требование: выходами модели должны быть показатели векторного критерия (локальные критерии).

Подсистема оптимиз