Тема 2. Слабоструктурированные многокритериальные задачи ио. Ранжирование и оптимизация решений. Формальные методы скаляризации векторного критерия. Их сравнительная оценка. ( 8 ч. , срс 2 ч)

Критерий эффективности системы.

Формирование критерия оценки качества принимаемых решений является одной из основных задач в процессе управления любым объектом. При этом различают два аспекта управления: оптимизация, т.е. поиск решений, доставляющих максимум или минимум выбранному критерию, и ранжирование, т.е. упорядочение решений в порядке убывания или возрастания значений критерия. Выбор максимума или минимума определяется содержательным смыслом критерия.

Если критерий системы выбран, то цель управления сформулирована.

Для нахождения оптимального (или рационального) управления (решения) необходимо установить зависимость между выбранным критерием эффективности и факторами, влияющими на его величину.

В общем виде критерий эффективности W может быть записан следующим образом

 

W = Ф (U,S, C) (1)

 

где:

ф – некоторый функционал

U - вектор управления. U= f(u₁,u₂,...u_n),i=1..n

. S - вектор, характеризующий внешнюю среду.

C - вектор, характеризующий процесс (систему.)

Вектор С можно представить в виде:

 

С = Ф(К, Р)

 

где вектор К={k_i} характеризует структуру нашей системы, а вектор P={p_i} является вектором параметров (конкретных числовых характеристик системы)

Выражение (1) можно рассматривать как математическую модель управляемого процесса (системы). C помощью этой модели можно искать оптимальное управление, оптимальную структуру и оптимальные параметры при заданной структуре.

 

U⁰=arg max/min Ф(U,S,C) оптимизация управления

u

K⁰= arg max/min Ф(U,S,C) оптимизацияструктуры (2)

k

P⁰= arg max/min Ф(U,S,C) параметрическая оптимизация

p

 

Критерий эффективности может быть скалярным, т.е. характеризоваться одним единственным числом, или векторным, характеризующимся совокупностью чисел. Это зависит от характера решаемой задачи. Например, при управлении перехватчиком естественно в качестве критерия принять вероятность поражения цели. Если же перед нами стоит задача оценки проекта пассажирского лайнера, то необходимо учитывать совокупность многих его свойств: надежность, скорость, дальность, комфортабельность, рыночную конкурентоспособность и т.п.

В соответствии с характером выбранного критерия принято различать однокритериальные и многокритериальные задачи принятия решений.

В общем случае W_n векторный критерий - W_n={w₁,w₂...w_n}. Его можно рассматривать как n-мерный вектор, или как точку в n- мерном пространстве, где w₁, w₂... w_n ее координаты. Образованное таким образом пространство принято называть критериальным. размерность его равна числу показателей (их часто называют локапьными критериями, в отличие от глобального векторного). Все возможные решения. независимо от их реализуемости, составляют гиперкуб, ребра которого отображают значения соответствующих показателей.

Существенным недостатком векторного критерия является то, что мы не можем решать оптимизационные задачи традиционными регулярными методами, т.к. современный математический аппарат не располагает универсальным способом сопоставления векторов.

Чтобы производить операции оптимизации и ранжирования необходимо скаляризовать векторный критерий. Ниже мы рассмотрим различные способы скаляризации.

В теории принятия решений широко употребителен термин «альтернатива». Этим термином обозначается каждое из несовместных возможных решений отображаемое точкой критериального пространства. Совокупность всех точек представляет собой полное множество альтернатив. Оно содержит как реализуемые, так и не реализуемые решения. Понятие альтернативы удобно тем, что оно обобщает все типы решений независимо от их содержания. В нашем случае альтернативами являются как решения по выбору управления, так и решения по выбору структуры или параметров управляемой системы. В рамках этой терминологии основная задача принятия решений может быть сформулирована как задача оптимизации или ранжирования альтернатив.

Пусть А=(а, а,…а) – множество реализуемых альтернатив. Тогда оптимальная альтернатива запишется в виде

 

а ⁰ = arg max/min W(a)

a

где W(a) - значение критерия при альтернативе а.

 

Способы скаляризации векторного критерия

Выбор главного критерия

Пусть (w₁,w₂,...,w_n)- множество показателей. В соответствии с этим способом лицо принимающее решения (ЛПР) выбирает самый важный показатель w_i. При этом остальные показатели w_j при "j¹i переводятся в ограничения. Для задачи оптимизации альтернатив можно записать:

 

а ⁰=arg max w_i (a), w_j (a⁰) ³(£)c_j при "j¹i

а

Этот способ по существу равносилен отказу от векторного критерия и переходу к скалярному. При этом происходит большая потеря информации, т.к. значения всех критериев кроме главного учитываются только в ограничительном смысле.

 

 

2.2.2. Свертка показателей

Употребительны два метода свертки показателей:

- Аддитивная свертка. Это свертка в виде взвешенной суммы показателей. Такой вид свертки используется чаще.

- Мультипликативная свертка. Критерий представляются в форме некоторого отношения показателей.

2.2.2.1. Критерий среднего взвешенного B этом методе критерий W представляется в виде суммы показателей с весовыми коэффициентами a_i, которые также называются коэффициентами важности. Они отражают ценность i-ого показателя (его важность.) по сравнению с остальными.

Наиболее употребителен следующий вид свертки:

_n

W=å a_i u_i где u_i=w_i/w_{i max (3)}

ⁱ⁼¹

Здесь u_i нормированное значение показателя w_i равное его отношению к максимально возможному. Чем ближе значение u_i к 1, тем выше качество достигнутое по этому показателю. Нормировка вводится потому, что все слагаемые суммы (3) должны иметь одинаковую размерность, иначе их нельзя было бы складывать.

 

Для весовых коэффициентов так же вводится условие нормировки в виде: å a_i=1.Эти коэффициенты назначаются экспертами или ЛПР, либо непосредственно, либо с помощью специальной процедуры называемой “метод парных сравнений”.

В основу метода положена квадратная матрица,строки и столбцы которой отвечают упорядоченным последовательностям показателей. Элементы матрицы а_ij показывают на сколько или во сколько раз (в зависимости от метода) i-й показатель важнее j – го. Обработка заполненной матрицы позволяет получить искомые нормированные коэффициенты важности. Алгоритмы обработки будут рассмотрены особо.

Различают аддитивный и мультипликативный методы парных сравнений. В аддитивном методе определяется, на сколько один показатель важнее другого, причем сумма весовых коэффициентов в каждой паре должна быть равна 1: (a_ij + a_ji = 1). В мультипликативном методе произведение весовых коэффициентов в парах равно 1: (a_ij * a_ji = 1),и соответственно, определяется, во сколько раз один показатель важнее другого.

При непосредственном назначении всех элементов матрицы парных сравнений эксперты или ЛПР могут проявить непоследовательность суждений при сопоставлении отдельных пар, что приведет к несогласованности элементов матрицы и возникновению петель нетранзитивности. В этом случае необходима коррекция сделанных назначений.

Однако, матрицу можно задать лишь первой строкой, и из условий симметрии и нормировки формально определить ее целиком.. Тогда она будет внутренне согласованной.

Таким образом в рассмотренном методе в качестве скаляризованного критерия используется среднее взвешенное значение показателей.

 

 

Метод идеальной точки.

В этом методе векторный критерий W рассматривается как точка в n-мерном пространстве, координаты которой соответствуют значениям показателей. Можно определить следующую последовательность действий:

а) Назначаем по всем показателям лучшие значения, которые могут быть достигнуты. Таким образом, в критериальном пространстве определяется так называемая «идеальная точка», соответствующая абсолютно лучшей альтернативе. Идеальную точку можно назначать как с учетом ее реализуемости, так и без.

Суть метода: вычисляем для каждой альтернативы расстояние до идеальной точки, и оптимальной альтернативой будем считать ту, у который расстояние до идеальной точки. минимально.

Для измерения расстояния до идеальной точки необходимо вводить метрику в критериальном пространстве. Ее можно задавать произвольно, но обычно используют евклидово пространство.

В этом методе скаляризация векторного критерия заключается в замене его расстоянием до идеальной точки.