Эффективная масса электрона в кристалле

 

Эффективная масса. Потенциальное поле решетки изменяет характер движения электрона в кристалле по сравнению с его движением в свободном пространстве. Поведение свободного электрона описывается волной де Бройля[9] и импульс электрона связан с волновым вектором соотношением . Поэтому закон дисперсии для свободного электрона носит квадратичный характер

(4.36)

 

Если на электрон не действуют внешние силы, то его энергия не изменяется и, следовательно, сохраняется его состояние.

Рассмотрим движение электрона в кристалле, на который действует внешняя сила Скорость электрона связана с энергией соотношением

 

. (4.37)

 

Ускорение электрона равняется

 

(4.38)

 

Воспользовавшись классическим законом сохранения энергии получим

(4.39)

 

Подстановка (4.37) в (4.39) приводит к выражению, аналогичному второму закону Ньютона[10]

(4.40)

 

если считать, что знаменатель дроби в выражении (4.40) имеет смысл массы электрона

(4.41)

 

Эта величина называется эффективной массой электрона и учитывает влияние периодической кристаллической решетки на движение электрона в кристалле под действием внешних сил. Эффективная масса не отражает ни инерциальных, ни гравитационных свойств электрона, а является некоторым удобным коэффициентом, с помощью которого можно рассматривать движение электрона в кристалле под действием внешней силы как свободного, то есть сложные законы движения электронов в кристалле свести к законам, которые по форме совпадают с законами классической механики. По величине эффективная масса может быть больше и меньше действительной массы электрона, а по знаку – положительной и отрицательной.

 

Форма изоэнергетической поверхности вблизи экстремальных точек

Если рассматривать закон дисперсии в -пространстве, то уравнение определяет в этом пространстве некоторую поверхность, которая называется изоэнергетической поверхностью или поверхностью постоянной энергии. Форма этой поверхности, которая зависит от энергетического спектра электрона в кристалле, определяет многие физические свойства металлов и полупроводников.

Определим форму изоэнергетической поверхности вблизи экстремальных точек зоны, воспользовавшись решением (4.33). Для примитивных решеток с параметрами выражение (4.33) можно привести к виду

 

(4.42)

 

Здесь учтено взаимодействие только с шестью ближайшими соседними атомами, то есть Так как

 

 

получим

(4.43)

Представим в виде ряда Тейлора[11] вблизи экстремальных точек первой зоны Бриллюэна. Ввиду того, что в экстремуме то, используя разложение косинуса по малому параметру, получим из (4.42) для центра зоны ( =0)

 

(4.44)

 

и для края зоны (()

 

. (4.45)

 

Здесь коэффициенты представляют собой диагональные элементы тензора обратной эффективной массы

 

(4.46)

 

Для кристаллов, которые обладают кубической симметрией, все три главные оси эквивалентны и тензор обратной эффективной массы вырождается в скаляр .

Из (4.46) видно, что знак эффективной массы зависит от знака обменного интеграла При в точках =0 находится максимум энергии и эффективная масса отрицательна, а в точках минимум энергии и эффективная масса положительная. При в точках находится максимум энергии и а в точках =0 – минимум энергии и

Обменное взаимодействие сильнее для верхних энергетических зон в результате большего перекрывания волновых функций. Следовательно, эффективная масса, которая обратно пропорциональна обменному взаимодействию, будет уменьшаться с ростом номера зоны.

Ширина разрешенных зон определяется разностью

 

(4.47)

 

Величина запрещенной зоны будет определяться разностью между минимальным и максимальным значениями энергии двух соседних зон (4.44 – 4.45), то есть в основном разностью соседних энергетических уровней электрона в изолированном атоме, которая уменьшается с увеличением энергии. Следовательно, с увеличением энергии ширина разрешенных зон увеличивается, а запрещенных зон уменьшается.

Как видно из (4.44 – 4.45), закон дисперсии носит квадратичный характер, отклонения от него обусловлены необходимостью учета более высоких степеней разложения в ряд Тейлора.

Понятие о дырках. В электрическом поле на электрон действует сила, равная

. (4.48)

 

Для электрона, который находится вблизи потолка энергетической зоны, эффективная масса отрицательна и ускорение, обусловленное внешней силой, будет равняться

 

(4.49)

 

Следовательно, такой носитель заряда ведет себя как частица с положительным зарядом и положительной эффективной массой.

Запишем выражение для плотности тока, создаваемого электронами почти заполненной зоны

 

(4.50)

 

где — скорость электрона с волновым вектором и спином . Суммирование проводится по всем заполненным состояниям зоны Бриллюэна.

Ток, который переносится электронами полностью заполненной зоны, равняется нулю, потому что средняя скорость электронов для такой зоны равняется нулю. Поэтому (4.50) можно переписать в эквивалентной форме

 

(4.51)

Следовательно, ток, создаваемый электронами, которые заполняют определенную совокупность состояний в зоне, эквивалентный току, который могли бы создать частицы с положительным зарядом при заполнении ими вакантных состояний. Таким образом, хотя единственными реальными носителями заряда являются электроны, в некоторых случаях для удобства можно считать, что ток полностью переносится положительными частицами, которые заполняют все те состояния в зоне, которые не заняты электронами. Такие фиктивные частицы называют дырками.

Перечислим физические свойства дырки.

Заряд дырки равняется по величине и противоположен по знаку заряду электрона.

Эффективная масса дырки равняется по величине эффективной массе электрона в соответствующем незаполненном состоянии, но противоположна по знаку.

Скорость дырки равняется скорости отсутствующего электрона, а волновой вектор дырки и квазиимпульс имеют противоположные волновому вектору и квазиимпульса электрона знаки

 

Основным энергетическим состоянием для дырки является состояние возле потолка зоны, возбуждение дырки отвечает ее движение вниз по энергетической зоне.