Данные об объеме продаж валюты нескольких отделений Центробанка.

 

Определить средний объем продаж валюты по совокупности отделений, рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации.

Рассчитаем размах вариации:

R = = 24,3 - 10,2 = 14,1 млн. руб.

Для определения отклонений значений признака от средней и их квадратов строим вспомогательную таблицу:

 

Таблица 2

Расчетная таблица

 

 

Среднее значение находим по формуле средней арифметической простой:

млн. руб.

Среднее линейное отклонение:

млн. руб.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.

Рассчитаем относительные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение:

Коэффициент вариации:

Для расчета показателей формы распределения строим вспомогательную таблицу:

 

Таблица 3

Расчетная таблица

 

 

Далее рассчитываем показатели асимметрии, эксцесса и их ошибки:

 

Абсолютные показатели вариации: размах вариации , среднее линейное отклонение , среднее квадратическое отклонение и дисперсия , характеризуют размер вариации. Размах вариации (14,10 млн. руб.) зависит только от крайних значений в совокупности. Более точно характеризуют вариацию признака показатели, основанные на учете колеблемости всех его значений – среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение . Они указывают, на сколько в среднем величина объема продаж валюты по совокупности отделений отличались от среднего объема продаж Центробанка. По формуле среднего линейного отклонения это отличие составляло млн. руб., по формуле среднеквадратического отклонения млн. руб.

Соотношение может служить индикатором «засоренности» нетипичными, выделяющимися из основной массы единицами.

.

Для нормального распределения это соотношение равно 1,25, следовательно, данная совокупность близка к нормальному распределению.

Относительные показатели вариации: относительный размах вариации (коэффициент осцилляции), относительное линейное отклонение, коэффициент вариации - служат критериями оценки интенсивности вариации. Наиболее распространенным из них является коэффициент вариации. В нашем случае его величина составила 23,2 %, что так же свидетельствует о небольшом разбросе значений признака вокруг средней, и, следовательно, об однородности совокупности. К аналогичному выводу подталкивает и значение коэффициента осцилляции (82,9%), указывающего на то, что размах вариации несущественен, а именно на 17,1 % меньше среднего значения объема продаж валюты.

Асимметрия и эксцесс являются важнейшими характеристиками формы распределения. Для оценки степени асимметричности в анализе использован моментный коэффициент (стандартизованный момент третьего порядка). . На направление асимметрии указывает знак коэффициента: , следовательно, в данном случае правосторонняя (положительная) асимметрия. Так как относительные показатели вариации незначительны ( и ), и в частности, коэффициент осцилляции меньше 1, правомерно утверждение, что в совокупности нет резко выделяющихся единиц, и нетипичные значения не будут доминировать в величине центрального момента третьего порядка, таким образом можно ограничиться расчетом моментного коэффициента асимметрии.

Оценка степени существенности асимметрии проведена с использованием средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии, которая зависит от объема изучаемой совокупности. Так как отношение , то асимметрия признается несущественной, вызванной влиянием случайных обстоятельств.

Проведенное исследование позволяет утверждать, что анализируемый ряд распределения близок к симметричному и, следовательно, существует возможность рассмотреть еще одно свойство рядов распределения – эксцесс.

Отрицательный эксцесс характеризует более плосковершинное, чем нормальное распределение, а также указывает на то, что в совокупности нет слабоварьирующего по данному признаку «ядра» и единицы рассеяны по всем значениям признака более равномерно.

Средняя квадратическая ошибка эксцесса позволяет оценить его существенность. Полученный результат , и, следовательно, отклонение от нормального можно считать несущественным.

Пример 2.

 

Таблица 4

Данные о товарообороте предприятий одной из отраслей промышленности.

 

 

Определить средний объем товарооборота, структурные средние, абсолютные и относительные показатели вариации и насколько фактическое распределение согласуется с нормальным (по показателям формы распределения).

Для расчета показателей построим вспомогательную таблицу.

 

Таблица 5

Расчетная таблица

 

Размах вариации:

млн. руб.

Среднее значение находим по формуле средней арифметической взвешенной:

млн. руб.

В равноинтервальных рядах распределения мода (M_o) и медиана (Me) определяются по следующим формулам:

 

Предварительно выявим интервалы, в которых находится мода и медиана. Наибольшая частота (22) указывает на модальный интервал 30-35 млн. руб. По накопленным частотам определяем, что медиана должна находиться в том же интервале.

В нашем случае их значения равны:

млн. руб.

 

млн. руб.

Для определения квартилей используются формулы, аналогичные формуле для расчета медианы. Общая схема их расчета такова: определяется номер для первой и третьей квартилей:

.

По накопленным частотам определяем интервалы, в которых находятся 1 и 3 квартили, соответственно: (20-25) и (30-35).

Величина квартилей определяется по формулам:

млн. руб.

 

млн. руб.

 

млн. руб.

 

Квартильное отклонение:

млн. руб.

где и – соответственно первая и третья квартили распределения.

 

Среднее линейное отклонение:

млн. руб.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.

Рассчитаем относительные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение:

Относительный показатель квартильной вариации:

Коэффициент вариации:

 

Определим показатели формы распределения:

 

 

Сформулируем выводы по рассчитанным показателям вариации примера 2, в котором представлен интервальный ряд распределения предприятий по объему товарооборота.

Размах вариации свидетельствует о том, что разница между максимальным и минимальным значением составляет 40 млн. руб. Средний объем товарооборота – 30 млн. руб. Чаще всего встречающееся значение объема товарооборота в рассматриваемой совокупности предприятий – 31,4 млн. руб., причем 50% (40 предприятий) имеют объем товарооборота менее 30,5 млн. руб., а 50% – свыше.

Соотношение характерно для левосторонней асимметрии, при котором большая часть единиц совокупности имеет значение признака ниже модального. Нашему примеру соответствует соотношение 30 млн. руб. < 30,5 млн. руб.< 31,4 млн. руб., что свидетельствует о том, что большая часть анализируемых предприятий имела объем товарооборота ниже, чем его модальное значение (31,4 млн. руб.).

Помимо Mo и Me, количественную характеристику структуры строения вариационных рядов оценивают такие порядковые статистики, как: квартили, квинтили, децили, перцинтили и др.

Степень вариации ряда может быть определена также по формуле квартильного отклонения , предложенной английским биологом и антропологом Ф. Гальтоном. Это абсолютный квартильный показатель вариации.

Квартильное отклонение, равное 5,0 млн. руб., свидетельствует об умеренной асимметрии распределения, так как в симметричных или умеренно асимметричных распределениях (в рассматриваемом примере ).

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности. Так, средняя величина колеблемости объема товарооборота предприятий отраслей промышленности составляет: по среднему линейному отклонению - 6,5 млн. руб. (абсолютное отклонение); по среднему квадратическому отклонению - 8,1 млн. руб. Квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 65.

Разница между крайними значениями признака на 33,3% превышает его среднее значение ( = 133,3%).

Относительное линейное отклонение ( = 21,7%) и относительный показатель квартильной вариации ( = 16,4%) характеризуют однородность исследуемой совокупности, что подтверждает рассчитанный коэффициент вариации, равный 27% ( =27% меньше 30%).

Моментный коэффициент асимметрии в очередной раз подтверждает наличие незначительной левосторонней асимметрии. Основной недостаток моментного коэффициента асимметрии заключается в том, что его величина зависит от наличия в совокупности резко выделяющихся единиц и следовательно его большая (абсолютная) величина будет объясняться доминирующим вкладом в величину центрального момента третьего порядка нетипичных значений, а не асимметричностью распределения основной части единиц.

В связи с тем, что коэффициент осцилляции больше 1 , то есть размах вариации на 33 % превышает среднее значение объема товарооборота целесообразно либо исключить из анализа резко отличающиеся единицы совокупности, либо воспользоваться структурными показателями асимметрии.

Структурные показатели (коэффициенты) асимметрии характеризуют асимметричность только в центральной части распределения, то есть основной массы единиц, и в отличии от моментного коэффициента не зависят от крайних значений признака. Воспользовавшись структурным коэффициентом асимметрии К. Пирсона, приходим к выводу, что свидетельствует в пользу полученных ранее результатов.

Соотношение и с соответствующей средней квадратической ошибкой позволяет утверждать о том, что асимметрия и эксцесс являются несущественными.

 

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Таблица 6