Для равновесия твердого тела под действием системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил системы на оси координат были равны нулю.

 

Момент силы относительно центра

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

Если известен радиус-вектор r ⃗ точки приложения силы F ⃗ относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:

M ⃗ _O (F ⃗) = r ⃗× F ⃗.

Действительно, модуль этого векторного произведения:

| M ⃗ _O | = | r ⃗× F ⃗| = | r ⃗|| F ⃗|sin α.

В соответствии с рисунком | r ⃗|sin α = h, поэтому:

| M ⃗ _O | = | F ⃗| h.

 

Момент силы относительно оси. Аналитический и геометрический способы.

Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси.

Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы F ⃗ на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:

Mz (F ⃗) = Mz (F ⃗_Π) = ± F _Π h.
Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F ⃗_Π. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком «+», иначе – «-».

1. Аналитический

По правилу вычисления векторного произведения:

Откуда

,

,

.

2. Геометрический

 

 

 

Для вычисления момента силы относительно оси необходимо провести плоскость (рис. 3.4), перпендикулярную данной оси , спроецировать силу на эту плоскость и вычислить момент проекции относительно точки − точки пересечения оси с плоскостью . Эквивалентность этих двух способов вытекает из равенств

.

Момент положителен, если, глядя с положительного направления оси, вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

 

Пара сил. Теорема о сумме моментов сил пары относительно произв. Центра.

Пара сил - это система двух равных параллельных сил, направленных в разные стороны

 

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называют плечом пары h, а плоскость П, где лежит пара сил, является плоскостью пары.

Первое свойство. Пару сил нельзя привести к силе.

Второе свойство. Действие пары сил на твердое тело определяется моментом пары, который является свободным вектором, перпендикулярным плоскости пары, численно равным произведению силы на плечо пары.

Следствия из второго свойства пары.

1. Действие пары на твердое тело не изменяется, если пару сил поворачивают в плоскости пары.

2. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если пару сил переносят в другое место плоскости пары.

3. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если ее перенести в плоскость, параллельную плоскости пары.

Сумма моментов сил пары относительно произвольной точки равна моменту пары.

Доказательство. Выберем произвольную точку (рис. 3.7). Сумма моментов сил пары относительно точки :

,

так как , то .

Следствие: Момент пары не зависит от выбора центра.

 

Теоремы о парах.

 

Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар. Для док–ва рассмотрим две пары (F₁, F`<sub>1</sub>) и (F<sub>2</sub>, F`₂) (рис. 3.9) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линий их действия в точки А и В соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим R=F₁+F₂ и R'=F`<sub>1</sub>+F`₂, но F'₁=–F₁ и F`<sub>2</sub>=–F<sub>2</sub>. Следовательно, R=–R', т. е. силы R и R' образуют пару. Момент этой пары: М=М(R, R')=ВАxR=BAx(F<sub>1</sub>+F<sub>2</sub>)=ВАxF<sub>1</sub>+ВАxF<sub>2</sub>. (3.14). При переносе сил, составляющих пару, вдоль линий их действия ни плечо, ни направление вращения пары не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Зна­чит, ВАхF<sub>1</sub>=M(F<sub>1</sub>, F'<sub>1</sub>)=M<sub>1</sub>, ВАxF<sub>2</sub>=M(F<sub>2</sub>, f`₂)=M₂, и формула (З.14) примет вид M=M₁+M₂, (3.15) ч.т.д. Сделаем два замечания. 1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае. 2. После сложения может получиться, что М(R,R')=0; на основании замечания1 из этого следует, что сово­купность двух пар (F₁, F`<sub>1</sub>, F<sub>2</sub>, F`₂)~0.

 

Теорема 2. Две пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пусть на тело в плоскости I действует пара (F₁,F`<sub>1</sub>) с моментом M<sub>1</sub>. Покажем, что эту пару можно заменить другой парой (F<sub>2</sub>, F`₂), расположенной в плоскости II, если только ее момент М₂ равен М₁. Заметим, что пло­скости I и II должны быть параллельны, в частности, они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов M₁, и М₂ следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны. Введем в рассмотрение новую пару (F₃, F`<sub>3</sub>) и приложим ее вместе с парой (F<sub>2</sub>, F`₂) к телу, расположив обе пары в плоскости II. Для этого согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару (F₃, F`<sub>3</sub>) с мо­ментом М<sub>3</sub> так, чтобы приложенная система сил (F<sub>2</sub>, F`₂, F₃, F`<sub>3</sub>) была уравновешена. Положим F<sub>3</sub>=–F`₁ и F`<sub>3</sub>=–F<sub>1</sub> и совместим точки при­ложения этих сил с проекциями А<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> точек А и В на плоскость II (см. рис. 3.10). В соответствии с построением будем иметь: М<sub>3</sub>=–M<sub>1</sub> или, учитывая, что М<sub>1</sub>=М<sub>2</sub>, М<sub>2</sub>+М<sub>3</sub> = 0, получим (F<sub>2</sub>, F`₂, F₃, F`<sub>3</sub>)~0. Т.о., пары (F<sub>2</sub>, F`₂) и (F₃, F`<sub>3</sub>) взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нару­шает его состояния (аксиома 2), так что (F<sub>1</sub>, F`₁)~(F₁, F`<sub>1</sub>, F<sub>2</sub>, F`₂, F₃, F`<sub>3</sub>). (3.16). С другой стороны, силы F<sub>1</sub> и F<sub>3</sub>, а также F`₁ и F`<sub>3</sub> можно сло­жить по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. Они равны по модулю, поэтому их рав­нодействующие R и R' должны быть приложены в точке пересече­ния диагоналей прямоугольника ABB<sub>1</sub>A<sub>1</sub>, кроме того, они равны по модулю и направлены в проти­воположные стороны. Это означает, что они составляют систему, экви­валентную нулю. Итак, (F<sub>1</sub>, F`₁, F₃, F`<sub>3</sub>)~(R, R')~0. Теперь можем записать (F<sub>1</sub>, F`₁, F₂, F`<sub>2</sub>, F<sub>3</sub>,F`₃)~(F₂, F`<sub>2</sub>).(3.17). Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим (F<sub>1</sub>, F`₁)~(F₂, F`₂), ч.т.д. Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать и поворачивать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента (F₁h₁=F₂h₂).

Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар. Пусть пары (F₁, F`<sub>1</sub>) и (F<sub>2</sub>, F`₂) расположены в пересекающихся плоскостях I и II соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу АВ (рис. 3.11), расположенному на ли­нии пересечения плоскостей I и II. Обозначим трансформированные пары через (Q₁, Q`<sub>1</sub>) и (Q<sub>2</sub>, Q`₂). При этом должны выполняться ра­венства: M₁=M(Q₁, Q`<sub>1</sub>)=M(F<sub>1</sub>, F`₁) и M₂=M(Q₂, Q`<sub>2</sub>)=M(F<sub>2</sub>, F`₂). Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках А и В соот­ветственно. Тогда получим R=Q₁+Q₂ и R'=Q`<sub>1</sub>+Q`₂. Учиты­вая, что Q`<sub>1</sub>=–Q<sub>1</sub> и Q`₂= –Q₂, получим: R=–R'. Т.о., мы доказали, что система двух пар эквивалентна одной паре (R, R'). Найдем момент М этой пары. М(R, R')=ВАxR, но R=Q₁+Q₂ и М(R, R')=ВАх(Q₁+Q₂)=BAxQ₁+BAxQ₂=M(Q₁, Q`<sub>1</sub>)+M(Q<sub>2</sub>, Q`₂)=M(F₁, F'₁)+M(F₂, F`₂), или M=M₁+M₂, т. е. теорема доказана.

Вывод: момент пары является свободным вектором и полностью оп­ределяет действие пары на абсолютно твердое тело. Для деформируемых тел теория пар неприменима.