Дифракция Фраунгофера на щели

Рассмотрим схему наблюдения дифракции Фраунгофера, представленную на рис.3. Плоская монохроматическая волна падает нормально на плоскость Щ, где расположена бесконечно длинная щель шириной b (щель можно считать бесконечно длинной, если ее длина намного больше ее ширины. Так при ширине в 0,01 - 0,05 мм длина в несколько миллиметров может считаться бесконечной).

За щелью расположена линза Л, в фокальной плоскости которой находится экран Э. Наличие линзы равносильно тому, что экран расположен как бы на "бесконечном" расстоянии от объекта. Если бы свет распространялся прямолинейно в соответствии с законами геометрической оптики, то в фокальной плоскости линзы получилась бы бесконечно узкая светлая полоса, проходящая через точку N₀ на экране Э. Но в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждая точка волнового фронта, достигающего плоскости, где расположена щель, является источником вторичных волн. Тогда лучи, идущие от всех этих вторичных источников под некоторым углом  к первоначальному направлению, образуют плоский волновой фронт и соберутся в фокальной плоскости линзы в т.N_ϕ (рис.3).

Разобьем открытую часть поверхности щели на зоны в виде узких полосок одинаковой ширины dх, параллельных краям щели. Эти элементарные участки становятся источниками вторичных волн. Амплитуды dA₀ этих волн, приходящих в т. N_ на экране от разных полосок, одинаковы, так как все зоны имеют одинаковую площадь и одинаковый к направлению вторичных волн угол ϕ. Эти амплитуды будут пропорциональны произведению амплитуды падающей волны Е₀ на размер полоски dx, т.е. dA₀ = CE₀ dx (2) где С - коэффициент пропорциональности.

Однако фазы колебаний, приходящих от различных участков щели, будут различаться. Для определения разности фаз проведем прямую М₀М_b', перпендикулярную к направлению дифрагированных лучей, и найдем разность хода, возникающую на пути от прямой М₀М_b до прямой М₀М_b'. Из рис.3 видно, что разность хода между волнами, идущими от точки М₀ и от точки М_х, расположенной на расстоянии х от т.М₀, равна хSinϕ.

Следовательно, если считать, что фаза волны, приходящей в т. N_ϕ из т.М₀, равна нулю, то колебание dU_ϕ, приходящее от элемента dх из окрестности точки М_х в т. Nϕ, может быть записано в виде: dU _ϕ = dА₀ cos( wt -kxSin ϕ) где k=2 π/λ - волновое число, w - частота колебания.

Для вычисления величины U_ϕ в т. Nϕ необходимо просуммировать вклады от различных участков щели, т.е. проинтегрировать dUϕ в пределах от х = 0 до х = b:

Сомножитель cos( w t-1/2kbsin ϕ ) в формуле описывает временное изменение поля в точке наблюдения с частотой w, а модуль выражения, стоящего перед косинусом, есть амплитуда A_ϕ результирующей волны в точке N_ϕ:

Отметим, что амплитуда волны, распространяющейся в направлении ϕ=0, пропорциональна ширине щели b и равна A₀=CE₀b (5) и выражение (4) можно переписать в виде

Интенсивность света определяется квадратом амплитуды, т.е.

где I₀ - интенсивность в центре дифракционной картины, u =1/2 kbSin ϕ.

Интенсивность максимальна для направления ϕ_0max=0, совпадающего с направлением распространения падающей волны. Направления, соответствующие последующим максимумам, можно найти из решения задачи поиска экстремума функции (6). Эти направления примерно соответствуют значениям u, равным u_1max= 1.43π≈3π/2, u_2max= 2.46π≈5π/2, u_3max= 3.47π≈ 7π/2,... Соотношения интенсивностей главного и последующего максимумов равны I_0max = I_1max = I_2max = I_3max=... = 1: 0,045: 0, 016: 0,008:. и не зависят ни от ширины щели, ни от длины волны.

В то же время для направлений Sinϕ = λ/b, 2λ/b, 3λ/b, 4λ/b..., удовлетворяющих уравнению Sin u = 0, интенсивность равна нулю. Эти направления соответствуют случаю, когда разность хода между волнами, приходящими от крайних участков щели, равна целому числу длин волн. Это означает, что для любого произвольно выбранного участка щели всегда найдется другой, равный по величине, участок, излучение от которого придет строго в противофазе с излучением от выбранного участка. Тем самым, в результате интерференции интенсивность распространяющегося в этих направлениях излучения будет равна нулю.

Из рис.4 видно, что основная часть светового потока сосредоточена в центральной дифракционной полосе, определяемой значениями Sinϕ=λ/b (так называемый центральный максимум), малая его часть будет распространяться в пределах первых (около 5%) и вторых (около 2%) максимумов и т.д.

1 - узкая щель, 2 - широкая щель.

Рассмотрим влияние ширины щели на распределение интенсивности дифракционной картины (рис.5). Увеличение ширины щели приводит к приближению первых минимумов к центру дифракционной картины, при этом резкость дифракционного максимума увеличивается (рис.5, кривая 2). Соотношение интенсивностей света в отдельных максимумах не изменяется, однако увеличивается абсолютное значение интенсивности, связанное с тем, что с увеличением ширины щели увеличивается энергия проходящего через нее излучения. В заключении отметим, что дифракция Фраунгофера может наблюдаться и при падении сферической волны на объект, и при отсутствии линзы. Из формулы (1) можно показать, что условия для наблюдения дифракции Фраунгофера имеют вид: b²/λr <<1, b²/λs <<1.