Лекция № 6. Изучение тел вращения в курсе стереометрии. Организация мини-исследований с использованием динамических моделей «Открытой стереометрии» и других программ при изучении темы.

 

Краткое содержание

Тема «Тела вращения» вместе с темой «Многогранники» являются центральной в курсе стереометрии средней школы.

1) В процессе их изучения систематизируются знания учащихся их планиметрии: о многоугольниках, окружностях и круге, вписанном и описанном многоугольниках и их основных свойствах, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве из курса стереометрии 10-го класса.

2) В процессе изучения многогранников и тел вращения продолжается работа по дальнейшему развитию пространственных представлений и воображение учащихся.

3) Знакомство с многогранниками и телами вращения играет важную роль в подготовке учащихся к практической жизни, к труду (например, многие детали машин, приборов, архитектурные сооружения, предметы быта имеют форму тел вращения).

4) Дальнейшие развитие получает при изучении этого материала логическое мышление учащихся (вводится много новых понятий, теорем)

Основная цель – дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников, познакомить с простейшими телами вращения и их свойствами.

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на 2 группы:

1. Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности.

2. Шар и сфера: а) определение, симметрия, сечение, касательная плоскость; б) объем шара; в) площадь сферы.

Изложение материала о каждом геометрическом теле осуществляется по единому плану:

1) Определение, сопутствующие элементы и некоторые простейшие свойства, вытекающие сразу из определения.

2) Через построение изображения тела показывается его существование. (Предупреждать возможные ошибки в изображениях пространственных фигур).

3) Рассматриваются сечения многогранника или тела вращения (начинать с наглядных пособий, кодограмм).

4) Частные виды, их свойства и классификация (для многогранников).

5) Рассмотрение площади поверхности и объема данного тела.

При изучении большинства вопросов необходима постоянная актуализация ранее изученного материала, широкое использование пространственно-плоскостного аналога.

Большинство задач по данным темам – вычислительного характера, решение которых сводится к последовательному решению цикла элементарных планиметрических задач.

Наиболее сложным является материал (задачи) о комбинациях многогранников и тел вращения. Теоретический материал в основном рассматриваются на наглядно-интуитивном уровне, не ставится задача обучения школьников построению изображения комбинаций. Поэтому необходимо больше использовать готовые чертежи той или иной комбинации и соответствующие модели. На основе их анализа учащиеся должны уметь выделять необходимые для решения сечения данной комбинации и строить их на «выносном» чертеже. Часто вместо комбинаций геометрических тел получаем на таком чертеже известные планиметрические комбинации (треугольник вписанный или описанный около окружности, прямоугольник вписанный или описанный около окружности и т.д.)

При изучении тел вращения используются рассмотренные ранее комплекты ЦОРов. В самом общем виде суть их использования сводится к следующим моментам: демонстрация процесса получения данных тел путём вращения некоторой плоской фигуры, выяснения вида сечений тел вращения плоскостью при различных её положениях.

В качестве примера рассмотрим организацию факультативного занятия.

Факультативное занятие в 11 классе по теме: "Фигуры и тела вращения" с использованием ИКТ.

“Предмет математики настолько серьёзен,
что надо не упускать возможности
сделать его немного занимательным”.

Б.Паскаль.

Цели урока:

1) образовательная - научить применять знания при решении нестандартных задач, видеть в них простые составляющие;

2) развивающая — развитие логического и конструктивного мышления, самостоятельной способности учащихся.

3) воспитательная – развить аккуратность при построении, математическую грамотность учащихся, устойчивый интерес к познанию и изучению математики; показать целостность и гармонию окружающего мира, взаимосвязь изучаемых предметов, взаимосвязь разделов математики, красоту математики;

Тип урока: комбинированный.

· Аппаратные ресурсы: компьютеры с локальной сетью, мультимедийный проектор, экран.

· Программные ресурсы: ИИСС Геометрическое конструирование на плоскости и пространстве (НФПК).

План – конспект занятия.

I Актуализация знаний.

Игровой момент перед занятием: разгадывание двух кроссвордов “Тела и фигуры вращения” по группам. Можно завершить в конце занятия, используя новые знания.

“ Тела и фигуры вращения”

Вопросы к кроссворду – 1

По горизонтали. 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

По вертикали. 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

Вопросы к кроссворду – 2

По горизонтали. 1. Фигура, полученная вращением параболы вокруг её оси. 2. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой. 3. Круг, являющийся элементом конуса, плоскость которого перпендикулярна оси конуса. 4. Музыкальный инструмент, часть которого напоминает Псевдосферу Лобачевского. 5. Отрезок, соединяющий две точки окружности.

По вертикали. 1. Фигура, полученная вращением гиперболы вокруг её оси. 2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 3. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его. 4. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 5.. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 6. Тело вращения, принцип движения которого описала великая русская женщина-математик. 7. Фигура, полученная вращением эллипса вокруг её оси.

Эмоциональный настрой.

Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.