ANOVA багатофакторної економетричної моделі.

Про якість багатофак-торної моделі можна судити за залишковою сумою квадратів ESS.

ESS = (Y - Xb)'(Y - Xb) = Y'Y - Y'Xb - b'X'Y + b'X'Xb =Y'Y-2b'X'Y +b'X'Xb.

Взявши частинну похідну по вектору b, отримаємо систему нормальних рівнянь:

X'Xb = XY.

Підставивши рівняння (2.145) в (3.30), отримаємо вираз ESS) матричному виді:

ESS = Y'Y -b'X'Y.

Відомо також, що загальна варіація, або так звана повна су­ма квадратів відхилень, обчислюється за формулою:

TSS=

А варіація, обумовлена регресією, дорівнює:

Виведемо наведені формули варіації для TSS та RSS у математ. Вигляді:

а) для загальної варіації:

TSS=

б) для пояснювальної варіації:

Розрахуємо середні суми квадратів:

-регресії:

,

де р- кількість факторів у моделі

-залишків:

,

де k – кількість входів у модель k=p+1

Крім вищенаведених середніх сум квадратів відхилення MSR та MSE, розраховують також стандартну помилку оцінок.

Ця статистика поряд з MSE використовуєься для характеристики адекватності підібраної моделі.

Зауважимо, що велечину можемо записати у матричній формі:

8)Прогноз однофакторної моделі

Прогноз може бути або точковим, або інтервальним.

Точковий прогноз

Нехай цей точковий прогноз визначається лінійною функці­єю від Уi(і = ). Це прогнозне значення У для періоду n+1, якому на числовій осі відповідає одна точка:

,

де с, - деякі вагові значення, які повинні бути підібрані так, щоб зробити найкращим лінійним незміщеним прогнозом. Так як У, =Ь₀ + Ь₁+

E(Y₀ )=b₀₊b₁X₀

Виходячи з умови Гаусса-Маркова =0, то

E(Y₀ )=

Цілком очевидно, що буде незміщеним лінійним прогно­зом для E(Y₀ ) тоді і тільки тоді, коли:

i =X₀

Можна показати, що найкращою незміщеною лінійною оцін­кою У, =Ьо + Ь_ХХ_І є У₀ = Ь₀ + Ь_}Х₀ (Джонсон).

Інтервальний прогноз

9). Стандартна помилка та довірчий інтервал кутового коефіцієнта

Відомо, що оцінки кутового коефіцієнта А, для однофакторної моделі розраховуються за формулою:

Довірчим інтервалом випадкової величини b₁, називають ін­тервал з межами в якому з певною, наперед заданою, ймовірністю Р = 1- знаходиться істинне значення па­раметра . При цьому ймовірність Р = 1- називається довір­чою імовірністю, а - рівнем значимості

Для обчислення довірчого інтервалу необхідно знати стан­дартне відхилення b_1.

Стандартне відхилення b₁, є коренем квадратним з дисперсії,тобто:

Але , як правило, невідома, тому замість неї застосовують оцінку S. Тоді

Відповідними межами довірчого інтервалу для

кутового коефіцієнта є

Тоді межі довірчого інтервалу для А,будуть дорівнювати:

де t - це 100() % - на точка t- розподілу Стьюдента п - 2 ступенями свободи.

Отже, індивідуальний довірчий інтервал для кутового коефіцієнта b₁ буде мати вигляд:

Стандартна помилка та довірчий інтервал вільного члена b₀

За аналогією з b₁, розрахуемо дисперсто для Ь₀. Оцінка цього параметра визначаеться за формулою:

_.

Стандартне відхилення вольного члена регресії буде дорівнювати:

Отже, індивідуальний довірчий інтервал для b₀ ми можемо розраховувати за формулою:

Кореляційний аналіз

При проведенні кореляційного аналізу сукупність даних розглядається як безліч змінних (чинників), кожна з яких містить n спостережень; xik – спостереження i змінної k; – середнє значення k-ї змінної; i=1,...,n.

Парні коефіцієнти кореляції

Парний коефіцієнт кореляції між k-м і L-м чинниками обчислюється за формулою:

Він є показником тісноти лінійного статистичного зв'язку, але тільки у разі спільного нормального розподілу випадкових величин, вибірками яких є k-й і L-й чинники.

За таких умов для перевірки гіпотези про рівність нулю парного коефіцієнта кореляції використовується t-статистика, розподілена згідно із законом Стьюдента з n-2 ступенями свободи.

Часткові коефіцієнти кореляції

Частковий коефіцієнт кореляції першого порядку між k-м і L-м чинниками характеризує тісноту їх лінійного зв'язку при фіксованому значенні j-го чинника. Він визначається як

Він розподілений аналогічно парному коефіцієнту за таких самих передумов, і для перевірки його значеннєвості використовується t-статистика, в якій число ступенів свободи дорівнює n-3. У програмі частковий коефіцієнт кореляції розраховується в загальному вигляді, тобто за умови, що решта всіх змінних - фіксовані:

Тут Dij — визначник матриці, утвореної з матриці парних коефіцієнтів кореляції викреслюванням i-го рядка і j-го стовпчика.

Множинні коефіцієнти кореляції

Для визначення тісноти зв’язку між поточною k-ю змінною і змінними, що залишились, використовується вибірковий множинний коефіцієнт кореляції:

де D - визначник матриці парних коефіцієнтів кореляції.

Для перевірки статистичної значущості коефіцієнта множинної кореляції використовується величина:

Якщо розраховане F-значення більше значення F-розподілу на відповідному рівні імовірності (0.9 і вище), то гіпотеза про лінійний зв'язок між k-ю змінною і рештою змінних не заперечується.