Використання диференціальних формул руху супутника для визначення параметрів орбіти

Інтеграл Лапласа у векторній формі (1.32) помножимо скалярно на вектор

, (1.32)

З отриманого виразу знайдемо:

, (1.23)

Враховуючи (1.23) і (1.35) отримаємо:

, (1.37)

Ця формула справедлива для випадку коли супутник знаходиться на осі апсид в точці перигею. У випадку довільного розміщення супутника на орбіті:

, (1.38)

Отримаємо рівняння Кларо для незбуреного руху супутника по орбіті.

Супутник знаходиться в т С і його положення визначається кутом істинної аномалії. Введемо локальну систему координат, центр якої сумістимо з центром орбіти т О. запишемо рівняння площини для даної орбіти

Розпишемо інтеграл площ в пристосуванні до даної координатної системи.

Або запишемо по координатах

, (1.39)

Проаналізуємо систему рівнянь (1.39) виходячи із можливого значення координат супутника.

, (1.40)

Запишемо координати через радіус вектор і істинну аномалію

, (1.41)

Підставимо ці значення в (1.40)

, (1.42)

Замінимо в (1.42) r його виразом з (1.38)

Інтегруємо отриманий вираз

, (1.43)

З другого закону Кєплера відомо, що істинна аномалія є величина, яка змінюється нерівномірно при русі супутника по орбіті, замінимо її іншою величиною, яка називається ексцентричною аномалією. Цю заміну робимо виходячи із залежності:

 

, (1.44)

е – ексцентриситет

E – ексцентрична аномалія

Перетворимо цю формулу з метою визначення знаменника(1.43)

З тригонометрії відомо

Приведемо отриманий вираз до спільного знаменника і розкриємо дужки.

, (1.45)

На основі (1.45) визначимо вираз для знаменника підінтегрального виразу:

, (1.46)

Для визначення (1.39) диференціюємо (1.44)

Відомо, що

В отриманому виразі для заміни замість підставимо (1.44)

Підставимо цей вираз в (1.47)

, (1.48)

Підставляємо (1.48) і (1.46) в (1.43)

Інтегруємо отриманий вираз:

, (1.49)

Зробимо перетворення лівої частини (1.49) виходячи з того, що

Відомо також

Введемо позначення

Середній рух – , (1.50)

Величина, що визначається формулою (1.50) характеризує середню швидкість супутника по орбіті у вигляді кола радіуса а.

, (1.51)

Назвемо (1.51) середньою аномалією. Середня аномалія, кут відрахований від напрямку на точку перигею до супутника на коловій орбіті радіуса а в момент спостереження.

З врахуванням (1.50) і (1.51) знайдемо:

, (1.52)

Рівняння (1.52) е рівнянням Кєплера для незбуреного руху супутника по орбіті.

Встановимо ще одну залежність між елементами незбуреної орбіти супутника.

Формула (1.46) встановимо залежність між ексцентриситетом, істинною і ексцентричною аномалією.

Відомо, що радіус вектор визначається:

, (1.38)

Зробимо відповідні заміни в (1.46)

, (1.53)

Збурений рух ШСЗ

Рух супутника за законами Кеплера передбачає ідеальний випадок руху, при якому на супутник впливала би тільки сила тяжіння утворена Землею, як тілом правильної геометричної форми, або абсолютно твердим, або з правильним і незмінним розподілом мас. Для реальної Землі всі ці умови не виконуються, оскільки вона не має правильної геометричної форми, не має правильного розподілу мас, і крім того на супутник будуть діяти сили тяжіння, що утворюють інші небесні тіла, тому реальний рух супутника відбувається по реальних орбітах і такий рух називається збуреним, а орбіта-збуреною.

Очевидно, що елементи орбіти супутника(реальної) і елементи, які характеризують положення супутника на реальній орбіті будуть відрізнятися від відповідних елементів незбуреної орбіти. Ці різниці називаються збуреннями відповідних елементів. Очевидну величину збурень можна визначити знаючи диференціальні рівняння збуреного руху. По аналогії з диференціальним рівнянням незбуреного руху, диф. р-ня збуреного руху в координатній формі запишеться так:

, (1.54)

В рівнянні (1.54) в правій частині диф. р-ня знаходиться прискорення ω по осях координат X,Y,Z. Ці прискорення і характеризують вплив різноманітних факторів на рух супутника.

Безпосереднє інтегрування р-ня (1.54) неможливе, оскільки дуже багато різноманітних факторів впливає на збурення, тому розв’язок цих диф. рівнянь проводять приблизними методами, що дозволяють визначати швидкості , а також координати x,y,z супутника в тій чи іншій точці реальної орбіти. Якщо для цієї ж точки на основі теорії незбуреного руху обчислити незбурені координати ,а також швидкості ,по відповідних напрямках координатних осей, то порівнюючи збурені і незбурені координати отримують значення збурень.

(1.55)

(1.56)

(1.55) і (1.56) дозволяють обчислювати відповідні збурення і через них визначити збурення відповідних елементів орбіти.