Гидродинамический и тепловой пограничные слои

На плоской пластине

 

Рассмотрим поток, обладающий неизменными теплофизическими характеристиками (r, m, l, c_p = const), совершающий вынужденное движение вдоль плоской полубесконечной тонкой пластины и обменивающейся с ней теплом. Предположим, что неограниченный поток со скоростью
и температурой Т ° набегает на полубесконечную пластину, совпадающую
с плоскостью х – z и имеющую температуру Т _ст = const.

Выделим гидродинамический и тепловой пограничные слои
с толщиной d_г и d_т соответственно (область 99 % изменение скорости w_x
и температуры T). В ядре потока и Т ° постоянны.

Проанализируем уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Задача двухмерная, поскольку w_z, . По экспериментальным данным известно, что в гидродинамическом пограничном слое . В ядре потока const, поэтому, согласно уравнению Бернулли , в пограничном слое то же самое

 

.

 

Как известно «х» d_г, поэтому .

Следовательно, имеем

 

; (22)

 

. (23)

 

Записывать аналогичные уравнения для оси у не имеет смысла, так как w_y может быть найдена из уравнения неразрывности (22). Используя аналогичные процедуры можно упростить и уравнение Фурье-Кирхгофа

 

. (24)

 

Система дифференциальных уравнений (22)–(24) составляет изотермическую математическую модель плоского стационарного теплового ламинарного пограничного слоя. Сформулируем граничные условия
на границе с пластиной, т.е. при у = 0: при любом х скорость w_x = 0 (условие прилипания). На границе и вне гидродинамического погранслоя,
т.е. при у ≥ d_г(х), а также при х = 0 для любого у: w_x = . Для поля температуры аналогичные рассуждения.

Итак, граничные условия:

 

w _x (x, 0) = 0, x > 0; w_x (x, ∞) = ; w_x (0, y) = ; (25)

T (x, 0) = T _ст, x > 0; T (x, ∞) = T ^°; T (0, y) = T ^°. (26)

 

Точное решение этой задачи в виде бесконечных рядов было получено Блазиусом. Имеются более простые приближенные решения: метод интегральных соотношений (Юдаев) и теорема импульсов (Шлихтинг). А.И. Разиновым задача была решена методом сопряженного физического
и математического моделирования. Были получены профили скоростей
w_x (x, y), w _y (x, y) и температур Т, а также толщины пограничных слоев
d_г(x) и d_т (х)

 

; (27)

 

, Pr ≥ 1; (28)

 

Pr = ν/a.

 

Коэффициент А в формуле (27) у Разинова – 5,83; Юдаева – 4,64; Блаузиуса – 4; Шлихтинга – 5,0. Примерный вид найденных зависимостей приведен на рис. 1.3.

Как известно, для газов Pr ≈ 1, капельных жидкостей Pr > 1.

Полученные результаты позволяют определить коэффициенты импульса и теплоотдачи. Локальные значения γ(x) и Nu _{г, x}

 

, . (29)

y

wx

T ст

(T–T ст)

dг(x)

dт(x)

x

 

Рис. 1.3. Гидродинамический и тепловой ламинарные пограничные слои

на плоской пластине

 

Усредненные значения и по участку длиной l

 

, , . (30)

 

Аналогично для теплоотдачи

 

, ; (31)

 

, . (32)

 

В данном случае аналогия тепло- и импульсоотдачи сохраняется (исходные уравнения одинаковы, граничные условия подобны). Критерий, характеризующий гидродинамическую аналогию процесса теплоотдачи имеет вид

 

P_{т-г, x} = Nu _{т, x} / Nu _{г, x} = Pr ^1/3. (33)

 

Если Pr = 1, то P_{т-г, x} = 1, следовательно полная аналогия процессов импульсо- и теплоотдачи.

Из полученных уравнений следует

 

γ ~ , m; a ~ , l. (34)

 

Как правило, подобная качественная зависимость выполняется
не только для плоского погранслоя, но и для более сложных случаев.

Задача рассматривается в изотермической постановке, тепловые граничные условия первого рода Т _ст = const.

По мере удаления от кромки пластины (увеличения координаты х) происходит рост d_г(х). При этом неоднородность поля скорости w_x распространяется в области все более удаленные от границы раздела фаз,
что является предпосылкой возникновения турбулентности. Наконец, при Re_{x, кp} начинается переход ламинарного режима в турбулентный. Переходная зона соответствует значениям х, рассчитанным по Re_x от 3,5 × 10⁵ ÷ 5 × 10⁵.
На расстояниях Re_x > 5 × 10⁵ весь пограничный слой турбулизируется,
за исключением вязкого или ламинарного подслоя толщиной d_1г. В ядре потока скорость не меняется. Если Pr > 1 то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой толщиной d_1т, в котором молекулярный перенос тепла преобладает над турбулентным.

Толщина же всего турбулентного теплового пограничного слоя обычно определяется из условия ν _т = а_т, следовательно d_г = d_т.

Сначала рассмотрим турбулентный гидродинамический пограничный слой (рис. 1.4). Оставим в силе все приближения, сделанные для ламинарного слоя. Единственное отличие – наличие ν_т (у), поэтому

 

. (35)

 

Сохраним и граничные условия. Решением системы уравнений (35)
и (22) с граничными условиями (25), используя полуэмпирическую модель пристенчатой турбулентности Прандтля, можно получить характеристики турбулентного пограничного слоя. В вязком подслое, где реализуется линейный закон распределения скорости, можно пренебречь турбулентным переносом импульса, а вне его молекулярным. В пристенной области
(за вычетом вязкого подслоя) обычно принимается логарифмический профиль скорости, а во внешней области – степенной закон с показателем 1/7 (рис. 1.4).

у

х

dг dт

Т – Т ст

dт = dг

Т ст

Rex > 5 × 10^5 турбулентный слой

переходная область

z

внешняя область

d1т

пристенная область

d1г

wx

T ^° T ст

Rex < 3,5 × 10^5 ламинарный слой

 

Рис. 1.4. Гидродинамический и тепловой турбулентные пограничные слои

на плоской пластине

 

Как и в случае ламинарного пограничного слоя возможно использование осредненных по длине l коэффициентов импульсоотдачи

 

. (36)

 

Рассмотрим тепловой турбулентный пограничный слой. Уравнение энергии имеет вид

 

. (37)

 

Если Pr > 1, то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой, где молекулярный перенос тепла

 

. (38)

 

 

Для локального коэффициента теплоотдачи решение математической модели имеет вид

 

. (39)

 

Среднее по длине пластины значение определяется так

 

. (40)

 

Ниже представлены образование турбулентного пограничного слоя (а) и распределение локального коэффициента теплоотдачи (б) при продольном обтекании плоской полубесконечной пластины (рис. 1.5).

 

y

x

dг

dт

d1,т

d1,г

δг = dт

l кр

x

ламинарный слой

переходная зона

турбулентный слой

 

Рис. 1.5. Пограничные слои d_г и d_т и локальный коэффициент теплоотдачи a

на плоской пластине

 

В ламинарном слое (х ≤ l _кр) тепловой поток только за счет теплопроводности, для качественной оценки можно использовать соотношение a ~ .

В переходной зоне общая толщина пограничного слоя увеличивается. Однако значение a при этом увеличивается, потому что толщина ламинарного подслоя уменьшается, а в образующемся турбулентном слое тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвекцией вместе
с перемещающейся массой жидкости, т.е. более интенсивно. В результате суммарное термическое сопротивление теплоотдачи убывает. В зоне развитого турбулентного режима коэффициент теплоотдачи вновь начинает убывать из-за возрастания общей толщины пограничного слоя a ~ .

Итак, рассмотрены гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине. Качественный характер полученных зависимостей справедлив и для пограничных слоев, образующихся при обтекании более сложных поверхностей.

 

Теплообмен в круглой трубе

 

Рассмотрим стационарный теплообмен между стенками горизонтальной прямой трубы круглого сечения и потоком, обладающим неизменными теплофизическими характеристиками и движущимся за счет вынужденной конвекции внутри нее. Примем тепловые граничные условия первого рода, т.е. Т _ст = const.

I. Участки гидродинамической и термической стабилизации.

При входе жидкости в трубу за счет торможения, вызываемого стенками, на них формируется гидродинамический пограничный слой.
По мере удаления от входа толщина пограничного слоя возрастает,
пока пограничные слои, прилегающие к противоположенным стенам,
не сомкнутся. Этот участок называется начальным или участком гидродинамической стабилизации – l _нг.

Подобно изменению профиля скоростей по длине трубы изменяется
и профиль температур.

II. Рассмотрим ламинарное движение жидкости.

Ранее, в разделе дисциплины «Гидродинамика и гидродинамические процессы» [2], нами был рассмотрен гидродинамический начальный участок. Для определения длины начального участка была предложена следующая зависимость

 

.

 

Для жидкости Pr > 1, следовательно, тепловой пограничный слой будет находиться внутри гидродинамического пограничного слоя.
Это обстоятельство позволяет считать, что тепловой пограничный слой развивается в стабилизированном гидродинамическом участке и профиль скорости известен – параболический.

Температура жидкости во входном сечении теплообменного участка постоянна по сечению и равна Т ° и в ядре потока она не меняется. При этих условиях уравнение теплового пограничного слоя имеет вид

 

. (41)

 

Решение этого уравнения при вышеперечисленных условиях дает:

· для длины теплового начального участка

 

; (42)

 

· для местного коэффициента теплоотдачи

 

; (43)

 

· для среднего коэффициента теплоотдачи длиной

 

; (44)

 

· для местного числа Нуссельта

 

; (45)

 

· для среднего числа Нуссельта

 

. (46)

 

Рассмотрим уравнение (42). Если , то .
Для жидкостей Pr > 1, поэтому в большинстве случаев, особенно
для жидкостей с большим Pr, теплообмен при ламинарном режиме движения осуществляется в основном на участке термической стабилизации. Как видно из соотношения (43) a для трубы на участке термической стабилизации уменьшается по мере удаления от входа (увеличивается толщина теплового пограничного слоя d_т) (рис. 1.6).

 

r

T ^* = 1

T ст

l нт

T ^*

d

dт(x)

T ^* = (T (x, r) – T ст) / (T ° – T ст)

 

Рис. 1.6. Профиль температуры на начальном и стабилизированном участке

при ламинарном течении жидкости в цилиндрической трубе

 

При турбулентном течении потока в трубе, как и на плоской пластине, во-первых, толщины гидродинамического и теплового пограничных слоев совпадают; а во-вторых, растут значительно быстрее, чем для ламинарных. Это приводит к уменьшению длины участков термической
и гидродинамической стабилизации, что позволяет в большинстве случаев пренебрегать ими при расчете теплоотдачи

 

. (47)

 

III. Стабилизированный теплообмен при ламинарном движении среды.

Рассмотрим стационарный теплообмен в круглой трубе, когда теплофизические свойства жидкости постоянны (изотермический случай), профиль скорости не меняется по длине, температура стенки трубы постоянна и равна Т _ст, в потоке отсутствуют внутренние источники тепла,
а количество тепла, выделяющееся вследствие диссипации энергии, пренебрежимо мало. При этих условиях уравнение теплообмена имеет такой же вид, что для пограничного слоя. Следовательно, исходным уравнением для изучения теплообмена является уравнение (41).

 

 

Граничные условия:

 

(48)

 

Решение этой задачи впервые было получено Гретцем, затем Нуссельтом, в виде суммы бесконечного ряда. Несколько иное решение было получено Шумиловым и Яблонским. Полученное решение справедливо
и для участка термической стабилизации при условии предварительной гидродинамической стабилизации потока.

Для области стабилизированного теплообмена локальный коэффициент теплоотдачи равен предельному

 

или (49)

 

Как видно из рисунка (рис. 1.7), с увеличением число Nu уменьшается, асимптотически приближаясь на втором участке кривой
к постоянному значению Nu = 3,66. Это происходит, потому что для стабилизированного теплообмена профиль температуры по длине трубы
не меняется. На первом участке происходит формирование профиля температуры. Первый участок соответствует термическому начальному участку.

 

10^–5 10^–4 10^–3 10^–2 10^–110^0

1

3,66

Nu

Nu

Рис. 1.7. Изменение местного и среднего Nu по длине круглой трубы при Т _ст = const

IV. Стабилизированный теплообмен при турбулентном движении среды.

Исходное уравнение

 

. (50)

 

Граничные условия:

 

(51)

 

При решении задачи возникает проблема выбора профиля скорости w_x. Одни для w_x используют логарифмический закон (А.И. Разинов), другие – закон 1/7 (В.Б. Коган). Отмечается консервативность турбулентных течений, которая заключается в слабом влиянии граничных условий и поля скорости w_x на коэффициенты теплоотдачи.

Для числа Нуссельта предлагается следующая формула

 

. (52)

 

Как и для ламинарного движения в области стабилизированного теплообмена при турбулентном течении среды Nu не зависит от координаты х.

Нами был рассмотрены выше частные случаи теплообмена, а именно: при изотермической постановке задачи и тепловых граничных условиях первого рода теплообмен в гладких цилиндрических трубах и плоских горизонтальных пластинах.

В литературе имеются решения тепловых задач и для других случаев. Отметим, что шероховатость поверхности трубы и пластины ведет
к увеличению коэффициента теплоотдачи.