Sслучайные величины, описывающие неопределенные эффекты.

Дисперсионный анализ основан на следующих допущениях относительно случайных величин, описывающих неопределенные (остаточные) эффекты:

ü Математическое ожидание каждой остаточной случайной величины равно нулю

ü Остаточные случайные величины независимы

ü Все остаточные случайные величины имеют одинаковую дисперсию

ü Каждая остаточная случайная величина распределена по нормальному закону

 

 

23. Однофакторный дисперсионный анализ

Рассмотрим простейший случай дисперсионного анализа, когда изучается влияние на исследуемую величину какого-либо одного фактора A. Будем считать, что фактор A изучается на k уровнях A ₁, A ₂,..., A_k. Пусть для простоты рассмотрения на каждом уровне производится одинаковое число n наблюдений исследуемой величины.

Результаты наблюденных значений можно представить в виде таблицы:

Задачей дисперсионного анализа является выяснение вопроса о существенности влияния фактора A на величину X, т. е. вопроса о том, значимо ли отличаются между собой выборочные средние для каждой группы данных.

Для этого необходимо проверить нулевую гипотезу H ₀: μ₁ = μ₂ =... = μ _k против альтернативной гипотезы

H ₁: не все μ _j равны.

Чем больше разброс средних и чем меньше разброс значений внутри групп, тем меньше вероятность

того, что наши группы ─ это случайные выборки из одной совокупности.

Сформулируем это суждение количественно.

Совокупность данных по столбцам таблицы (уровням фактора или группам) при справедливости нулевой гипотезы можно рассматривать как одну выборку объема n х k из генеральной совокупности с математическим ожиданием μ и дисперсией σ²

Оценка генерального среднего:

 

 

Несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности:

 

 

Кроме того, дисперсию совокупности можно оценить во-первых на основании групповых дисперсий. Такая оценка не будет зависеть от различий групповых средних. Во-вторых, разброс выборочных средних тоже позволяет оценить дисперсию совокупности. Понятно, что такая оценка дисперсии зависит от различий выборочных средних.

При справедливости нулевой гипотезы любая из выборочных дисперсий дает одинаково хорошую оценку. Поэтому в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности возьмем среднее выборочных дисперсий. Эта оценка называется внутри групповой дисперсией:

 

Оценим теперь дисперсию совокупности по выборочным средним. Поскольку мы предположили, что все выборки извлечены из одной совокупности, то стандартное отклонение выборочных средних будет служить оценкой ошибки среднего:

 

Отсюда находим межгрупповую оценку дисперсии:

 

 

При справедливости нулевой гипотезы оценки s ², s_A ², s ₀² являются несмещенными оценками генеральной дисперсии σ². Посмотрим, как ведут себя оценки s ², s_A ², s ₀² при нарушении нулевой гипотезы. Найдем математические ожидания каждой дисперсии для такого случая.

Отклонение от нулевой гипотезы означает, что математическое ожидание в j -й группе может быть представлено в виде:

μ – генеральное среднее (математическое ожидание); α_j – дифференциальный эффект для уровня j

Тогда модель дисперсионного анализа будет иметь вид:

 

Отсюда следует, что:

 

 

При справедливости допущений:

1. для всех i и j

2. случайные величины ε _ij взаимно независимы

3. для всех i и j

 

Математическое ожидание межгрупповой дисперсии s_A:

 

 

а математическое ожидание внутригрупповой дисперсии s₀:

 

 

Таким образом, при несправедливости нулевой гипотезы оценка s_A ² является смещенной, при этом смещение определяется суммой квадратов дифференциальных эффектов групп (уровней фактора). Это означает, что при нарушении нулевой гипотезы оценка s_A ² будет иметь тенденцию к возрастанию и тем большую, чем больше отклонение от этой гипотезы.

В результате задача проверки гипотезы H₀ сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий s_A² и s₀². При справедливости допущения о нормальном распределении случайных величин ε_ij отношение:

 

в случае справедливости нулевой гипотезы подчиняется F -распределению с l ₁ = k- 1 и l ₂ = k (n- 1) числом степеней свободы.

Влияние фактора A на исследуемый признак считается значимым с уровнем значимости α, если

 

т. е. когда расчетное значение статистики F превышает значение α-процентной точки распределения Фишера.

Если это условие не выполняется, то влияние фактора A на исследуемую величину считается незначимым, т.е. математические ожидания μ ₁,..., μ _k имеют общее генеральное среднее (математическое ожидание) μ,. С другой стороны, если гипотеза H₀ отвергается, то делается вывод о том, что некоторые или все μ_j не совпадают.

Обобщим дисперсионный анализ на случай неравной численности групп.

Полная сумма квадратов отклонений значений x_ij от оценки генерального среднего будет определяться выражением:

 

Поскольку сумма квадратов между группами СК _A имеет k − 1 степеней свободы, а сумма квадратов внутри групп СК₀ имеет ∑n_j − k степеней свободы, то оценки межгрупповой (факториальной) и внутригрупповой (остаточной) дисперсий имеют соответственно вид:

 

Результаты дисперсионного анализа в общем случае обычно представляют в виде следующей таблицы

 

24. Доверительный интервал для среднего

Величина

подчиняется распределению Стьюдента.

Математически запись этого выражения имеет вид

 

Из распределения Стьюдента можно найти такое значение величины t _α/2 при котором 100α процентов всех возможных значений t будут расположены левее – t _α/2 или правее + t _α/2, а остальные 100(1 – α) процентов значений t попадут в интервал от – t _α/2 до + t _α/2:

 

 

преобразуем, полученное неравенство к виду

 

Таким образом, истинное среднее отличается от выборочного среднего менее чем на произведение t _α/2 и стандартной ошибки выборочного среднего s _x. Это неравенство задает доверительный интервал для среднего.

Приводя k -процентный доверительный интервал среднего, мы утверждаем, что вероятность того, что истинное среднее находится в этом интервале, равна k. Иными словами, если получить все возможные выборки из некоторой совокупности и для каждой рассчитать k -процентный доверительный интервал, то доля интервалов, содержащих среднее по совокупности (истинное среднее), составит k.

 

 

25. Доверительный интервал для разности средних. Оценка эффекта

Выражение для статистики Стьюдента можно видоизменить так, чтобы распределение t было всегда симметрично относительно нуля:

То есть

 

 

Из распределения Стьюдента можно найти такое значение величины t _α/2 при котором 100α процентов всех возможных значений t будут расположены левее – t _α/2 или правее + t _α/2, а остальные 100(1 – α) процентов значений t попадут в интервал от – t _α/2 до + t _α/2:

 

преобразуем, полученное неравенство к виду

 

 

Таким образом, разность истинных средних отличается от разности выборочных средних менее чем на произведение t_α и стандартной ошибки разности выборочных средних. Это неравенство задает доверительный интервал для разности средних µ₁ – µ₂.

Оценка эффекта

Доверительный интервал для разности средних можно использовать для оценки величины эффекта.

Например. Средний диурез при приеме плацебо составил µ₁ = 1200 мл, а при приеме препарата - µ₂ = 1400 мл. Таким образом, препарат увеличивает суточный диурез на µ₁ – µ₂ = 1400 – 1200 = 200 мл.

Предположим в нашем распоряжении выборки из совокупностей распределенных в соответствии с нормальным законом и необходимо оценить величину эффекта.

Для полученных данных значение статистики Стьюдента t = 2,447. Это больше критического значения t для 18 степеней свободы (2,101) и 5% уровня значимости, поэтому можно заключить, что различия статистически значимы, то есть препарат обладает диуретическим действием.

В контрольной группе средний диурез составил 1180 мл, а в группе, получавшей диуретик, - 1400 мл.

Среднее увеличение диуреза в данном опыте:

 

Однако как и всякая выборочная оценка, подверженная влиянию случайных факторов, эта величина отличается от истинного увеличения суточного диуреза, равного 200 мл. Поэтому правильнее будет рассчитать доверительный интервал, который покажет диапазон чисел, куда истинное значение величины эффекта попадает с заданной вероятностью.

Вычислим стандартную ошибку разности средних. Стандартные отклонения у принимавших диуретик и плацебо составили соответственно 245 и 144 мл. В обеих группах было по 10 человек. Тогда объединенная оценка дисперсии

 

 

А стандартная ошибка разности средних

 

 

Для определения 95% доверительного интервала (α=100-95) найдем значение t _0,05/2. Объем каждой из выборок n₁ = n₂ =10. Поэтому число степеней свободы l = 18. Соответствующее значение t _0,05/2 равно 2,101. Отсюда доверительный интервал для среднего изменения диуреза:

 

то есть

 

получаем

 

26. Доверительный интервал для разности средних. Проверка статистических гипотез с помощью доверительных интервалов

 

Выражение для статистики Стьюдента можно видоизменить так, чтобы распределение t было всегда симметрично относительно нуля:

То есть

 

 

Из распределения Стьюдента можно найти такое значение величины t _α/2 при котором 100α процентов всех возможных значений t будут расположены левее – t _α/2 или правее + t _α/2, а остальные 100(1 – α) процентов значений t попадут в интервал от – t _α/2 до + t _α/2:

 

преобразуем, полученное неравенство к виду

 

Таким образом, разность истинных средних отличается от разности выборочных средних менее чем на произведение t_α и стандартной ошибки разности выборочных средних. Это неравенство задает доверительный интервал для разности средних µ₁ – µ₂.