Моделювання поверхонь та їх оцінка

Для моделювання безперервних поверхонь на основі дискретного масиву даних використовується процедура локальної інтерполяції, аналогічна до тієї, що застосовується при інтерполяції методом зваженого ковзного усереднювання, відповідно до якої розрахункове значення змінної z у деякій точці простору х0 задається виразом:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Для визначення вагових коефіцієнтів 1., що забезпечують мінімум похибки при заданому масиві просторово-координованих даних, використовується оптимізована варіограмна модель. Процедура визначення вагових коефіцієнтів лінійної моделі (8.13) базується на теорії випадкових процесів, виходячи з якої дисперсія оцінки змінної z (x) може бути записана як функція значень напівдисперсії між всіма парами проб (вимірювань), а також між всіма пробами (вимірюваннями) і оцінюваною точкою (д:0), та значень вагових коефіцієнтів:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Завдання оптимальної інтерполяції, таким чином, полягає в знаходженні такого набору вагових коефіцієнтів X, який би забезпечував максимальну точність оцінки, тобто мінімальну дисперсію ае. Отже, постає завдання мінімізації функції дисперсії, розв'язком якої є ті вагові коефіцієнти, які цей мінімум забезпечують.
Відомо, що будь-який екстремум функції багатьох змінних супроводжується рівністю нулю всіх часткових похідних у точці екстремуму. У нашому випадку всі часткові похідні є лінійними функціями, і пошук екстремуму зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь. Позитивна напіввизначеність функції варіограми забезпечує, що розв'язання системи існуватиме, буде єдиним і відповідатиме саме мінімуму дисперсії, а не максимуму (Мальцев, 1993).
Для забезпечення однієї з головних вимог завдання оцінювання — вимоги незміщеності оцінки — у систему (8.14) необхідно ввести додаткове рівняння, що визначає умову рівності одиниці суми всіх вагових коефіцієнтів, або, що те ж саме, додати відповідний доданок у рівняння функції, що мінімізується:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Обчислюючи і прирівнюючи до нуля часткові похідні, одержуємо систему лінійних рівнянь:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Розв'язком системи (8.16) є і шукані вагові коефіцієнти, і значення множника Лагранжа, які дозволяють окрім, власне оцінки змінної z, у будь-якій точці простору або комірці растра визначити значення кригінгової дисперсії.
Для знаходження значень змінної в тих точках простору, де вимірювання не проводилися, використовується модель (8.13) зі знайденими ваговими коефіцієнтами. При використанні растрової моделі просторових даних оцінка (прогноз) проводиться для всіх комірок растра з невідомими значеннями змінної. У комірках, де значення змінної відомі, ці значення беруться як оцінні. У результаті будується (моделюється) безперервна поверхня z(x), що задовольняє сформульовані вище вимоги — мінімуму похибки і незміщенності.
Дисперсія відхилень оцінного (прогнозного) значення змінної від істинного, тобто похибка оцінювання (прогнозу), для кожної точки простору (комірки растра) обчислюється за формулою (8.14).
Описаний метод просторової інтерполяції відомий як звичайний лінійний (або ординарний) точковий кригінг.

Різновиди локально-стохастичної інтерполяції

У тому випадку, якщо при аналізі використовуються усереднені за деякою площею (як правило, за ділянками правильної квадратної або прямокутної форми — «блоками»), то процедура просторового моделювання має назву «блоковий кригінг». У цьому випадку побудована в результаті поверхня має більш згладжений вигляд порівняно з точковим кригінгом.
Якщо в межах даної території виділяються значні за площею ділянки неправильної форми (страти), у межах яких статистичні параметри масивів емпіричних даних розрізняються, доцільно використовувати стратифікований кригінг, при якому моделювання просторового розподілу змінної для кожної частини території виконується за варіограмними моделями, побудованими на основі аналізу масивів емпіричних даних, що належать до відповідних частин території.
Відомі також простий кригінг, індикаторний кригінг, кокригінг, ординарний кригінг з анізотропією, нелінійний кригінг і деякі інші різновиди локально-стохастичної інтерполяції, хоча і менш поширені порівняно з описаними вище, проте такі, що мають свої сфери використання.
У зв'язку з можливістю, а в конкретних випадках і доцільністю, застосування різних варіантів просторової локально-стохастичної інтерполяції важливим етапом геостатистичного моделювання є аналіз наявних просторових даних. Аналіз, по-перше, повинен передбачати перевірку даних на нормальність, оскільки звичайний, простий і універсальний різновиди кригінга передбачають нормальний розподіл даних. У випадку, якщо вихідний просторовий розподіл емпіричних даних не підпорядковується нормальному закону розподілу, доцільно спробувати привести його до нормального закону шляхом перетворення (логарифмічного, степеневого та ін.), заздалегідь виключивши тренд, якщо такий є.
Виявлення тренда також є обов'язковою складовою частиною аналізу емпіричних даних. Після виключення тренда з наявних даних з використанням його аналітичної апроксимації і позитивного результату перевірки на нормальність до останніх може бути застосована процедура звичайного кригінга. У разі застосування процедури універсального кригінга виключення тренда може не проводитися, проте і в цьому випадку аналітичне рівняння тренда має бути задане.
У модулях геостатистичного аналізу і моделювання сучасних ГІС-пакетів геостатистичне моделювання виконується в інтерактивному режимі на основі спеціальних Майстрів, що реалізовують всі етапи геостатистичного моделювання з використанням обчислювальних ресурсів сучасних комп'ютерів. Основними етапами, як правило, є:
- подання (візуалізація) набору емпіричних даних;
- дослідження даних (визначення статистичних параметрів, перевірка на нормальність, виявлення тренда);
- побудова варіограмної моделі;
- побудова (моделювання) поверхні;
- оцінка точності моделювання.
Таким чином, у модулях геостатистичного аналізу і моделювання сучасних інструментальних ГІС з розвинутими аналітичними можливостями передбачена реалізація всіх описаних вище процедур. Відзначимо тільки, що в різних ГІС-пакетах передбачені різні можливості щодо доступу до видів варіограмних моделей і вони мають у своєму розпорядженні різний перелік реалізованих різновидів кригінг-інтерполяції.

Вибір методу інтерполяції

Як випливає з характеристики методів просторової інтерполяції, кожний з них має свої достоїнства і недоліки, що мають бути враховані при виборі того чи іншого методу при розв'язанні конкретних завдань (рис. 8.6). Але вибір методу інтерполяції наявних даних залежить також від кількості вихідних точок даних і рівномірності їх розподілу в області інтерполяції. Виробники спеціалізованого програмного забезпечення для просторової інтерполяції — широко розповсюдженого пакета наукової графіки Surfer компанії Golden Software — розробили низку рекомендацій щодо вибору відповідного методу просторової інтерполяції.

Рис. 8.6. Різні варіанти інтерполяції одного набору базових точок:
а) метод кригінга; б) метод обернено квадратичної дистанції; в) метод найближчого сусідства (полігони Тиссена-Вороного); г) поліноміальний тренд (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Набір, що містить близько десяти точок, дозволить визначити не більш ніж загальні закономірності розподілу досліджуваного параметра. У цьому випадку рекомендуються методи кригінга і радіальних базисних функцій. Останні належать до нейромережного моделювання, яке тільки починає застосувуватися у просторовій інтерполяції в середовищі ГІС. Для побудови трендових поверхонь можна використовувати поліноміальну регресію.
При наборі менше 250 точок рекомендується кригінг із лінійною варіограмною моделлю. Набір з 250-1000 точок з оптимальною швидкістю обробляють тріангуляція з лінійною інтерполяцією, кригінг і радіальні базисні функції.
Коли набір налічує більше 1000 точок, швидка оцінка даних може бути зроблена з використанням методів мінімальної кривизни і тріангуляції з лінійною інтерполяцією. Точно, але порівняно повільно працюють методи кригінга і радіальних базисних функцій.
Зазначимо, що дуже великі набори даних не дають істотних розбіжностей у швидкості інтерполяції різними методами. Вибір методу залежить від вимог користувача і ресурсів системи.
Крім того, навіть найточніша процедура інтерполяції дає досить умовну картину реального розподілу характеристики, що картографується, у просторі. Одним із методів контролю правильності інтерпольованих карт є обчислення й порівняння різниці розрахованих значень зі значеннями вихідних даних. Отримана вибірка значень підлягає статистичній обробці, при перевищенні визначеного дослідником рівня в параметри інтерполяції вносяться необхідні зміни. Інтерпольована карта може коригуватися з використанням спеціальних редакторів, що дозволяють вручну змінювати значення кожного вузла сітки.
Готова інтерпольована карта репрезентує поверхню якого-не-будь просторового явища (рельєфу суші або дна, атмосферного тиску, вологості, температури, концентрації різних речовин у різних середовищах і т.ін.). Карти поверхонь надалі використовуються як для самостійного аналізу, так і для накладення на них плоских цифрових карт інших взаємозалежних характеристик. Підтримка роботи з поверхнями (3D-картами) входить у функціональний набір багатьох сучасних програмних ГІС-пакетів.

Питання і завдання для самоперевірки

1. У чому полягає суть геостатистичного моделювання?
2. Дайте загальну характеристику методів просторової інтерполяції.
3. Дайте характеристику методів глобальної інтерполяції і їх можливостей щодо моделювання безперервних поверхонь.
4. Охарактеризуйте локально-детерміновані методи інтерполяції.
5. Що таке регіоналізована змінна?
6. Яка роль в методиках локально-стохастичної інтерполяції належить варіограмі?
7. Що таке кригінг-інтерполяція? Які існують види кригінгу і в чому полягають їх основні переваги і недоліки?