Статистика регистрации ядерного излучения

Задача 2.34

В результате активации образовалось N ₀ = 10 радиоактивных ядер. Какова вероятность распада точно 5 ядер за время t = Т _1/2?

Решение

Используя биномиальный закон (2.5) и формулы (2.6) и (2.7), получим

.

Задача 2.35

Предполагается провести 2000 измерений активности препарата в течение одинаковых промежутков времени. Среднее число импульсов за время одного измерения равно 10,0. Считая время измерения малым по сравнению с периодом полураспада исследуемого радионуклида, определить число измерений, в которых следует ожидать точно 10 и 5 импульсов.

Решение

Ожидаемое число измерений, в которых может быть зафиксировано точно n_i импульсов будет равно

N (n_i) = N · P (n_i),

где P (n_i) - вероятность появления точно n_i импульсов, число которых пропорционально количеству распадающихся ядер за этот же промежуток времени.

Эта вероятность определяется с помощью биномиального закона распределения вероятностей (2.5), если известно полное число возможных событий N ₀ и время t каждого измерения. Но величины N ₀ и t неизвестны, и использовать формулу (2.5) не представляется возможным. Однако в случае n << N ₀ и t << T _1/2 биномиальный закон распределения вероятностей (2.5) может быть представлен в виде распределения Пуассона (2.8). Тогда

N (n_i) = N ,

и

N (n₁) = 2000 76;

N (n₂) = 2000 .

Задача 2.36

Среднее значение скорости счета импульсов от исследуемого радионуклида с большим периодом полураспада составляет 100,0 имп./мин. Определить вероятность получения 105 имп./мин. И вероятность того, что абсолютное отклонение от среднего числа имеет значение, большее 5,0 имп./мин.

Решение

Согласно условию задачи предполагаем, что время проведения измерений существенно меньше периода полураспада исследуемого радионуклида и для вычисления искомых вероятностей можно воспользоваться распределением Пуассона (2.8). Однако использование формулы (2.8) технически затруднительно, так как связано с вычислением факториалов больших чисел и возведением чисел в степени с большими показателями. Получить более удобную для вычислений форму можно, если воспользоваться утверждением центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятности, согласно которой при μ >> 1 распределение Пуассона переходит в нормальное распределение с дисперсией, равной μ:

.

(2.36.1)

Тогда

.

Очевидно, что сумма вероятностей появления любого значения скорости счета импульсов от = 0 и до равняется единице. Тогда

(2.36.2)

Используя формулу (2.36.1), вычислим

.

Таким образом,

 

Задача 2.37

Вычислить вероятность получения абсолютной погрешности измерения, превосходящей: а) σ и б) 2σ, где σ – среднеквадратичная погрешность.

Решение

Предполагаем, что случайная величина имеет нормальный закон распределения. Тогда искомая вероятность будет равна

.

(2.37.1)

 

Если в интеграле произвести замены:

то получим

,

где Ф(α) – интеграл ошибок, который не выражается в элементарных функциях и значения которого можно найти в подробных таблицах. Для поставленной задачи α =1 и α = 2 и соответственно: Ф(1) = 0,683; Ф(2) = 0,955.

Задача 2.38

Счетчик, находящийся в поле исследуемого излучения, зарегистрировал 3600 импульсов за 10 мин. Найти: а) среднюю квадратичную погрешность в скорости счета; б) продолжительность измерения, обеспечивающую определение скорости счета с погрешностью 1,00%.

Решение

По определению средняя скорость счета

.

Погрешность измерения числа импульсов является принципиально неустранимой, так как вызвана статистическим характером распада большого числа радиоактивных ядер. Измерение же времени обычно выполняется с относительной погрешностью, существенно меньшей, чем при измерении числа импульсов, и потому ее величиной можно пренебречь. Тогда, если предположить, что условия применения распределения Пуассона выполнены, можно воспользоваться формулой (2.10) и

.

Относительная погрешность измерения числа импульсов

.

Следует отметить, что эта погрешность соответствует доверительной вероятности 68%. Если использовать значение доверительной вероятности 95%, как принято в настоящее время, то полученную величину надо удвоить (см. предыдущую задачу):

.

Тогда число импульсов, которое необходимо зарегистрировать для получения заданной относительной точности с доверительной вероятностью 95%, составит

.

Необходимое время измерений составит

Задача 2.39

При изучении интенсивности исследуемого облучения (вместе с фоном) счетчик зарегистрировал 1700 имп. за 10,0 мин. Отдельное измерение фона дало 1800 имп. за 15,0 мин. Найти скорость счета, имп./мин, обусловленную исследуемым облучением, и ее среднюю квадратичную погрешность.

Решение

Фоном принято называть излучение, не связанное с исследуемым излучением, действие которого на счетчик не представляется возможным исключить. Поэтому

Средняя квадратичная погрешность искомой скорости счета будет равна, согласно (2.9) и (2.12):

Задача 2.40

Скорость счета импульсов от фона составляет 15 имп./мин, а скорость счета от исследуемого препарата и фона составляет 60 имп./мин. Пусть t _ф и t _иф – время измерения фона и исследуемого препарата при наличии фона. Найти оптимальное отношение t _ф/ t _иф, при котором точность определения скорости счета от самого препарата будет максимальной для заданного полного времени t _ф + t _иф.

Решение

,

;

;

.

(2.40.1)

Для нахождения отношения t _ф/ t _иф, которое отвечает минимальному значению σ_и, вычислим полный дифференциал от (2.40.1) и приравняем его к нулю. Имеем

.

(2.40.2)

Из условия следует, что

.

(2.40.3)

Подставив (2.30.3) в (2.40.2), получим

.

Задача 2.41

Счетчик Гейгера-Мюллера с разрешающим временем τ = 0,20 мс зарегистрировал 3,0·10⁴ имп./мин. Оценить среднее число частиц, прошедших через счетчик в мин.

Решение

Любой счетчик ядерного излучения после регистрации попавшей частицы затрачивает некоторый промежуток времени τ для восстановления своих свойств. Время τ – время восстановления является одной из основных характеристик счетчика ядерных частиц. Если в течение этого промежутка времени в счетчик попадает частица, то она не может быть зарегистрирована. Рисунок поясняет это явление. Частицы 1, 2, 4 будут зарегистрированы, а частица 3 – нет (просчитана), так как она попала в счетчик в интервал времени τ восстановления свойств счетчика.

Пусть время измерения t >> τ. Тогда среднее число частиц N ₀, прошедших через счетчик за это время, можно представит следующим образом:

N 0 = N + Δ N,

(2.41.1)

где N >> 1 – число частиц, зарегистрированных за время t; Δ N = – число просчитанных (незарегистрированных) частиц за суммарное мертвое время

Δ t = τ N = ,

(2.41.2)

так как τ N – суммарное время, в течение которого счетчик не мог регистрировать частицы. Тогда

N 0 = N + .

(2.41.3)

Разделив левую и правую части уравнения (2.41.3) на t, получим

.

(2.41.4)

Из последнего уравнения

имп./мин.

Задача 2.42

Какая доля частиц, проходящих через счетчик с разрешающим временем τ =1,0 мкс, не будет зарегистрирована при скорости счета и 1,0·10⁵ имп./мин.

Решение

Количество просчитанных импульсов (используем формулу (2.41.3) из предыдущей задачи) равно

.

Тогда

η₁ = 100·1,0·10^-6= 10^-4 = 0,01%

η₂ = 10⁵·1,0·10^-6 = 0,1 = 10%

 

Задачи для самостоятельного решения

 

2.43. Какая доля первоначального количества ядер радиоактивного препарата со средним временем жизни τ:

а) останется через интервал времени, равный 10 τ?

б) распадется за интервал времени между t ₁= τ и t ₂=2 τ?

2.44. Какая доля радиоактивного нуклида ³²Р распадется в течение второй недели (за вторую неделю) с момента приготовления препарата.

2.45. Определить вероятность распада ядра радиоактивного ядра золота ¹⁹⁸Au:

а) за четверо суток;

б) за четвертые сутки.

2.46. Во сколько раз вероятность распада ядер радиоактивного ¹²⁸I в течение первых суток, больше вероятности распада за вторые сутки.

2.47. Какая доля радиоактивных ядер кобальта, период полураспада которых равен 71,3 суток, распадется за месяц (30 суток)?

2.48. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного ⁵⁵Со, если его активность уменьшается на 4% за один час.

2.49. Сколько β-частиц испускает за один час 1,0 мкг нуклида ²⁴Na.

2.50. Активность некоторого радионуклида уменьшается в 2,5 раза за 7 суток. Найти его период полураспада.

2.51. В начальный момент активность некоторого радионуклида времени составляла 10,8·10⁶ Бк. Какова будет его активность по истечению времени, равной половине периода полураспада.

2.52. Активность радиоактивного препарата уменьшилась в 250 раз. Скольким периодам полураспада Т_1/2 равен протекший промежуток времени.

2.53. Активность нуклида ²⁴Na через 20 часов стала равной 1,0·10⁹ Бк. Найти активность свежеприготовленного препарата и его удельную активность.

2.54. Для измерения активности была принята единица 1 кюри (Ки), 1 Ки = 3,7·10¹⁰ Бк, которая соответствовала активности 1 г ²²⁶Ra. Определить период полураспада ²²⁶Ra.

2.55. Ядра ²³⁵U наряду с a-распадом (период полураспада Т _1/2 = 8,91·10⁸ лет) испытывают спонтанное деление (среднее время жизни t = 3·10¹⁷ лет). Оценить среднее количество ядер в 1 г чистого ²³⁵U, испытывающих спонтанный распад в течение одного часа. Сколько a-распадов происходит в том же образце за один час?

2.56. Показать, что удельная активность а любого радиоактивного нуклида, не зависит от времени.

2.57. Вычислить удельные активности нуклидов ²⁴Na и ²³⁵U, периоды полураспада которых равны 15 часов и 7,1·10⁸ лет соответственно.

2.58. Найти отношение удельной активности плутония ²³⁸Pu к удельной активности урана ²³⁶U.

2.59. 1 мг ²²⁶Ra испускает 3,61·10⁷ α-частиц в секунду. Оценить промежуток времени (в годах), через который от первоначального количества останется одно ядро ²²⁶Ra.

2.60. Активность препарата, содержащего радионуклид ²⁴Na, через 20 часов после приготовления стала равной 2,1·10⁹ Бк. Найти активность свежеприготовленного препарата, учитывая, что удельная активность нуклида ²⁴Na равна 3,22·10¹⁷ Бк/г.

2.61. Древесный уголь, обнаруженный на местах стоянок древних индейцев, обладает β-активностью, обусловленной наличием нуклида ¹⁴С и равной в среднем 12,9 распадов в минуту на 1 г углерода в образце. Активность ¹⁴С в живых деревьях не зависит от выбранного дерева и равна в среднем 15,3 распада в минуту на 1 г углерода в живых деревьях. Определить возраст стоянок.

2.62. Содержание трития в воде из некоторой глубокой скважины составляет 33% от того количества, которое содержится в свежей дождевой воде. Сколько времени прошло с того времени, когда вода, содержащаяся в скважине, выпала в виде дождя?

2.63. Считая, что в начальный момент ядер ⁹⁰Y не было, найти отношение числа ядер ⁹⁰Sr к числу ядер ⁹⁰Y в источнике β-частиц ⁹⁰Sr - ⁹⁰Y спустя: а) сутки после изготовления; б) год после изготовления. Принять, что Т_1/2 (⁹⁰Sr) = 28,1 года, а Т_1/2 (⁹⁰Y) = 64,1 часа.

2.64. Образец ²³Na облучается потоком тепловых нейтронов, в результате чего образуется 10⁸ атомов ²⁴Na в секунду. Определить максимальное число атомов ²⁴Na, которое может образоваться при облучении данным потоком тепловых нейтронов.

2.65. Радионуклид ³²Р, период полураспада которого Т _1/2 = 14,3 суток, образуется в ядерном реакторе с постоянной скоростью q = 3,1·10⁹ ядер/с. Через сколько времени после начала образования этого радионуклида его активность станет А = 1,0·10⁹ Бк.

2.66. Радионуклид ²⁷Mg, который с периодом полураспада Т _1/2 = 8,5 минут превращается в стабильный нуклид ²⁷Al, образуется с постоянной скоростью q = 1,0·10¹⁰ ядер/с. Какая масса нуклида ²⁷Al образуется спустя месяц (30 дней) после начала его образования?

2.67. Препарат урана, массой 1,0 г, излучает 1,24·10⁴ α-частиц в секунду. Найти его период полураспада.

2.68. Радионуклид ¹²⁸I образуется с постоянной скоростью q = 7,48·10⁹ ядер/с. Его активность через двадцать минут стала равной 3,23·10⁹ с^{- 1}. Чему равен период полураспада ¹²⁸I?

2.69. Какая доля радиоактивного нуклида ³⁵S распадется за вторую неделю (в течение второй недели) с момента изготовления препарата.

2.70. Радионуклид ³²Р, период полураспада которого Т_1/2=14,3 суток, образуется в ядерном реакторе с постоянной скоростью q = 5,1·10⁹ ядер/с. Чему будет равна активность радионуклида через двадцать суток после начала облучения.

2.71. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного нуклида ⁵⁵Со, если его удельная активность составляет активность уменьшается на 4% в час.

2.72. Определить энергию, выделяющуюся при α-распаде ²³⁹Pu в течение одной секунды. Количество плутония ²³⁹Pu составляет один грамм. Энергия распада 5,14 МэВ.

2.73. Возможен ли α-распад полония ²¹⁰Ро и железа ⁵⁶Fe?

2.74. Выразить кинетическую энергию дочернего ядра, возникающего в результате α-распада материнского ядра с массовым числом А, если энергия распада равна Q _α. Найти кинетическую энергию дочернего ядра при α-распаде ядра ²¹⁰Bi.

2.75. Вычислить высоту центробежного барьера для α-частиц, вылетающих из ядра ²²²Rn с орбитальным моментом l =2. Оценить полную высоту потенциального барьера для таких α-частиц.

2.76. При α-распаде ядер ²¹²Ро с первого возбужденного уровня (см. схему в задаче 2.21) наблюдается два конкурирующих процесса: непосредственное испускание α-частиц (длиннопробежная группа α-частиц) или же испускание α-частиц после перехода возбужденного ядра в основное состояние (основная группа α-частиц). При этом на каждые 1,0·10⁶ α-частиц основной группы испускается в среднем 35 длиннопробежных α-частиц с первого возбужденного уровня. Найти среднее время τ_γ жизни возбужденного ядра по отношению к γ-излучению, если среднее время жизни этого уровня по отношению к испусканию длиннопробежных α-частиц τ_α = 1,6·10^‑9 с.

2.77. Рассчитать энергию ядра отдачи при захвате электронов ядрами ³⁷Ar. Изобразить графически энергетический спектр нейтрино.

2.78. Вычислить максимальную энергию ядра отдачи при β-распаде ядер трития. Определить максимальную энергию β-частиц и среднюю энергию нейтрино. Средняя энергия β-частиц равна 5,7 кэВ.

2.79. Покоящееся ядро нуклида ⁷Ве испытывает Е -захват. Дочернее ядро при этом оказывается в основном состоянии. Вычислить энергию распада и определить кинетическую энергию, которую приобретает дочернее ядро.

2.80. Определить кинетическую энергию β-частицы при распаде ядра ²⁰⁴Та, если дочернее ядро остается в покое.

2.81. Изомерное ядро ^69mZn переходит в основное состояние, испуская γ-квант с энергией 0,436 МэВ. Вычислить кинетическую энергию образующегося ядра.

2.82. С какой скоростью и в каком направлении следует перемещать источник γ-излучения, чтобы полностью компенсировать в поглотителе гравитационное изменение энергии γ-кванта, если источник находится над поглотителем на высоте 20 м.

Указание: вспомнить эффект Допплера.

2.83. За один час измерений зарегистрировано 12000 импульсов. Вычислить скорость счета и абсолютную и относительную погрешности определения этой величины с доверительной вероятностью 0,68 и 0,95.

2.84. Интенсивность регистрации фона равна интенсивности исследуемого излучения. Сколько частиц необходимо зарегистрировать, чтобы статистическая погрешность определения интенсивности исследуемого излучения не превышала 5%, если измерения выполняются оптимальным образом.

2.85. В эксперименте по определению возраста древних предметов с помощью радиоуглеродного метода (см. задачу 2.5), найденных при археологических раскопках, обнаружено, что скорость счета составляет 14 импульсов в минуту, а скорость счета фона – 9,5 импульсов в минуту. Сколько времени займут измерения для оценки возраста предметов с точностью 5%.

2.86. Счетчик имеет разрешающее время τ = 8·10^-6 с. При какой скорости счета просчеты не будут превышать 2%.

2.87. При облучении детектора источником №1 зарегистрированная счетчиком скорость счета составляла имп./с. При облучении источником №2 скорость счета имп./с. Скорость счета при облучение детектора одновременно обоими источниками составила =1673 имп/с. Вычислить разрешающее время счетчика.

Ответы

2.43. 4,4·10-5; 0,233. 2.44. 0,205. 2.45. 0,642; 0,11. 2.46. 2.2·10¹⁷. 2.47. 0,253. 2.48. 0,021 час ^-1; 24,5 часа. 2.49. 1,1·10¹⁵. 2.50. 5,3 суток. 2.51. 7,64·10⁶ Бк. 2.52. ≈ 8 Т _1/2. 2.53. 2,5·10⁹ Бк; 3,2·10¹⁷ Бк/г. 2.54. 1580 лет. 2.55. 2,28·10⁸; ≈1. 2.56. а = λ/М_ат. 2.57. 3,2·10¹⁷ Бк/г; 7,9·10⁴ Бк/г. 2.58. 2,65·10⁵. 2.59. 9,93·10⁴ ≈ 10⁵ лет. 2.60. 5,3·10⁹ Бк. 2.61. 1370 лет. 2.62. ≈ 20 лет. 2.63. а) 1,68·10⁴; б) 3840. 2.64. 7,79·10¹². 2.65. 9,54 суток. 2.66. 2,6·10¹⁶ ядер; 1,2·10-6 г. 2.67. 4,5·10⁹ лет. 2.68. 24,5 мин. 2.69. 5,15·10^-2. 2.70. 3,17·10⁹ Бк. 2.71. 0,041 час ^-1; 24,5 час. 2.72. 1,19·10¹⁰ МэВ. 2.73. Да; нет. 2.74. 9,47·10^-2 МэВ. 2.75. 0,032 и 28,4 МэВ. 2.76. 5,6·10^-14 с. 2.77. 9,6 эВ;. 2.78. 1,8 эВ; 12,9 кэВ; 7,2 кэВ. 2.79. 0,862 МэВ; 57 эВ. 2.80. 0.21 МэВ. 2.81. 1,48 эВ. 2.82. 6,5·10^-5 см/с; вверх. 2.83. =200 мин^{- 1}; Δ(68)≈2 мин^{- 1}и Δ(95)≈4 мин^{- 1}; δ(68)≈1% и δ(95)≈2%. 2.84. 9600. 2.85. 19 часов. 2.86. 2,5·10^-3 с ^-1. 2.87. 9,7·10^‑5≈10^‑4 с.

Ядерные реакции

Символическая запись ядерной реакции:

a +A → C → b + B,

(3.1)

где С – составное ядро.

Энергетическая схема ядерной реакции:

,

(3.2)

которая протекает с образованием возбужденного составного ядра , показана на рис. 3.1. На этом рисунке: и - сумма энергий покоя частиц a и A до и после реакции, т.е. все массы выражены в энергетических единицах; - суммарные кинетические энергии частиц до и после реакции в СЦИ (система центра инерции); Q - энергия реакции:

;

(3.3)

и - энергии связи частиц a и b в составном ядре .

Экзоэнергетическая реакция представлена на схеме а); на схеме б) представлена эндоэнергетическая реакция.

Энергия, которая может быть передана для возбуждения составного ядра С, образующегося в процессе (3.1):

,

(3.4)

ε _а (С) – энергия связи частицы а относительно составного ядра С; - кинетическая энергия частицы а в СЦИ.

Построение векторной диаграммы импульсов для упругого рассеяния нерелятивистской частицы массой на первоначально покоившейся частице массой в ЛСК (лабораторная система координат) приведена на рис. 3.2. Величины, относящиеся к СЦИ, обозначены сверху знаком “~” (тильда). Отрезок AB – представляет импульс налетаюшей частицы a в ЛСК. Точка О делит отрезок AB на две части в отношении AO:OB = m_a:M_A. Отрезки AC и CB представляют импульсы и частиц a и A после рассеяния в ЛСК. Отрезки OB и OE - импульсы и частиц a и A до столкновения в СЦИ. Соответственно отрезки OC и OD представляют импульсы и частиц a и A после столкновения в СЦИ. Углы и φ – углы рассеяния частиц a и A в соответствующих системах координат.

Построение векторной диаграммы импульсов для частиц, участвующих в ядерной реакции A (a, b) B, показано на рис. 3.3. Частица А (ядро-мишень) в ЛСК покоится. , и - импульсы в ЛСК налетающей частицы и частиц, возникающих в результате реакции, а , = = - те же импульсы в СЦИ. О – центр окружности с радиусом, равным величине импульса :

,

(3.5)

где - приведенная масса возникающих частиц; Q - энергия реакции (см. (3.3)). Отрезок AB представляет импульс налетаюшей частицы a в ЛСК. Точка О делит отрезок AB на две части в отношении масс образовавшихся частиц: AO:OB = m_b:M_B. Отрезки AC и CB - импульсы и образовавшихся частиц b и B в ЛСК. Отрезки OF и OE представляют импульсы и частиц a и A до столкновения в СЦИ. Соответственно отрезки OC и OD представляют импульсы и образовавшихся частиц b и B в СЦИ. Углы и φ – углы вылета образовавшихся частиц b и B в соответствующих системах координат.

Пороговая кинетическая энергия (Т_а)_пор налетающей частицы а в ЛСК, при которой становится возможной эндоэнергетическая ядерная реакция:

.

(3.6)

Ядро-мишень А в ЛСК покоится.