Возмущающая сила. Приливы и отливы как результат действия возмущающей силы. Задача трёх и более тел. Точки Лагранжа. Устойчивость Солнечной системы.

Возмущённое движение

• Движение небесных тел в соответствии с законами Кеплера (решение задачи двух тел) называется невозмущённым. В действительности все тела Солнечной системы притягиваются не только Солнцем, но и друг другом. Поэтому ни одно тело в Солнечной системе не движется точно по эллипсу, параболе, гиперболе или окружности.

• Отклонения в движениях тел от законов Кеплера называются возмущениями, а реальное движение тел – возмущённым движением. Возмущённое движение тела можно представлять как движение по законам Кеплера с переменными элементами орбиты.

• Возмущения (т.е. зависимости элементов орбиты от времени) описываются суммой линейной и множества периодических функций с различными значениями периодов. Линейные слагаемые называются вековыми возмущениями, а все остальные – периодическими. Коэффициенты в функциях, ответственных за возмущения, как правило, очень малы, однако за достаточно большой промежуток времени вековые возмущения могут стать сколь угодно большими.

• Наибольший интерес представляют вековые возмущения больших полуосей, эксцентриситетов и углов наклона орбит планет, поскольку именно они определяют характер устойчивости Солнечной системы.

• Как следует из теории движения планет, вековые возмущения элементов орбит a, e и i чрезвычайно малы, и есть основания полагать, что Солнечная система устойчива по крайней мере в течение весьма длительных промежутков времени, возможно достигающих даже нескольких миллиардов лет.

• Другие элементы орбит – долгота восходящего узла ♌ и долгота перицентра π – подвержены значительным вековым возмущениям, но практически не изменяют общую конфигурацию Солнечной системы.

• Уточнение теории движения планет приводит к появлению квадратичных и кубических по времени возмущений элементов орбит. Возможно, что сумма таких возмущений может представлять собой

начальные слагаемые разложения в степенной ряд некоторой периодической функции. В этом случае изменение всех элементов будет ограниченным.

Устойчивость Солнечной системы

• Ньютон первым построил динамическую модель Солнечной системы и сразу же столкнулся с вопросом о ее устойчивости. Он вышел из этого затруднения с помощью Великого Часовщика, который время от времени

должен возвращать планеты на их орбиты.

• Наиболее удачное понятие устойчивости сформулировал в конце XIX века русский математик А.М. Ляпунов: Исследуемое движение считается устойчивым, если все возможные движения, мало отличающиеся от него в начальный момент, в последующем будут мало отклоняться от него на всем интересующем интервале времени. Если же найдется хотя бы одно (!) движение, в начальный момент мало отличающееся от исследуемого, которое постепенно, пусть и через большой промежуток времени, заметно отклонится от него, то исследуемое движение — неустойчиво.

• В задачах небесной механики рассматривается устойчивость по части переменных: большой полуоси (задает размер орбиты), эксцентриситету (определяет вытянутость орбиты) и наклону орбиты. Солнечная система

устойчива по Ляпунову, если размеры, форма и наклоны орбит остаются близкими к начальным на всем рассматриваемом интервале времени.

• Говоря об устойчивости Солнечной системы, как правило, имеют ввиду устойчивость движения больших планет на бесконечном или очень большом, сравнимом с ее возрастом, интервале времени. В этом случае крайними проявлениями неустойчивости являются уход планеты из Солнечной системы, падение на Солнце или столкновение с другой планетой. Такое событие способно существенно изменить структуру и динамику Солнечной системы.

• Классический метод исследования движения небесных тел заключается в представлении решения соответствующих уравнений возмущенного движения в виде отрезков рядов. В конце XIX века Анри Пуанкаре показал, что ряды, применяемые для описания движения небесных тел, расходятся. При этом полученные Пуанкаре интервалы применимости классических рядов оказались значительно короче возраста Солнечной системы.

• А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд и Ю. Мозер (начало 1960-х, КАМ–теория): если массы планет достаточно малы, эксцентриситеты и наклоны орбит малы, то для большинства начальных условий (исключая резонансные и близкие к ним) движение будет условно-периодическим, эксцентриситеты и наклоны будут оставаться малыми, а большие полуоси будут вечно колебаться вблизи своих первоначальных значений, т.е. Солнечная система будет устойчивой по Ляпунову на бесконечном интервале времени.

• Оказывается, что в Солнечной системе резонансы могут играть очень важную роль, поэтому выводы КАМ–теории не могут быть применены к Солнечной системе в целом на всем интервале ее существования.

• Самый простой резонанс возникает, если отношение периодов обращения двух планет в Солнечной системе равно отношению двух небольших чисел. В результате резонанса планеты могут передавать друг другу

значительные моменты импульса.

• Некоторые из известных приближений к резонансам: Нептун и Плутон, периоды обращения которых относятся почти как 3:2, система Юпитер-Сатурн (приближение к 2:5) и резонанс между Меркурием и Юпитером, у которых близки друг к другу периоды прецессии перигелия. Известны также и резонансы в системе спутников Юпитера, Сатурна и Урана, средикоторых есть и тройные (участвуют три небесных тела).

• В общем случае для нелинейной системы резонанс возникает при выполнении условия:

где kj – целые числа, ω j – частота (вращения, обращения,...) j -го тела

системы. В случае простого резонанса n = 2, тройного – n = 3 и т.д.

• При наличии резонансов эволюция динамической системы может развиваться по одному из сценариев:

1) Система пройдет через резонанс, что приведет к резкому скачкообразному изменению элементов орбиты,

например, эксцентриситета или наклона.

2) Система застрянет в резонансе и перейдет в новое состояние с либрационным режимом движения, в котором элементы орбиты вместе или по отдельности будут испытывать колебания, иногда достаточно большой амплитуды.

• Любой из этих сценариев может привести к тому, что планета перейдет на новую орбиту, и движение будет

неустойчивым по Ляпунову. Т.о., вопрос об устойчивости Солнечной системы на неограниченном интервале

времени пока остаётся открытым.

Возмущающая сила

На планету P 1 действуют 3 силы, вызывающие ускорения:

– ускорение относительного невозмущённого движения, вызванное притяжением Солнца; оно обусловливает движение

планеты P 1 вокруг Солнца,

– ускорение, вызванное притяжением планеты P 2

– ускорение, возникающее за счёт возмущения движения Солнца планетой P 2. Ускорения w' и w" составляют ускорение возмущающей силы. Т.о., возмущающая сила состоит из двух сил: из силы действия планеты P 2 на планету P 1 и из силы действия планеты P 2 на Солнце. Величина и направление возмущающей силы вследствие движения тел непрерывно меняются.

Приливы и отливы

Т.к. размеры Земли не бесконечно малы по сравнению с расстояниями до Луны и Солнца, то действие силы лунного и солнечного притяжения на разные точки Земли неодинаково. Действие возмущающих сил на отдельные участки поверхности Земли вызывает приливы и отливы.

Точка A находится ближе к Луне, чем центр Земли, и, следовательно, испытывает меньшее результирующее ускорение относительно центра Земли. Точка В находится дальше от Луны, чем центр Земли, и также испытывает меньшее результирующее ускорение относительно центра Земли.

Т.о., в точках А и В действие Луны уменьшает силу тяжести на земной поверхности. В точках F и D действие Луны, наоборот, увеличивает силу тяжести на поверхности Земли. Итак, под действием лунного притяжения водная оболочка Земли принимает форму эллипсоида, вытянутого по направлению к Луне. Вблизи точек А и В

будет прилив, а вблизи точек F и D – отлив.

• Вследствие вращения Земли приливная волна бежит по поверхности океана.

• За промежуток времени между двумя последовательными верхними (или нижними) кульминациями Луны, равный в среднем 24h52m, приливные выступы дважды обойдут вокруг всего земного шара.

• Под действием солнечного притяжения водная оболочка Земли также испытывает приливы и отливы, величина которых в 2,2 раза меньше лунных.

• Во время новолуний и полнолуний солнечный и лунный приливы происходят в «фазе» и наблюдается самый большой прилив. Во время первой и последней четвертей в момент лунного прилива происходит солнечный отлив, и наблюдается наименьший прилив.

• Приливы и отливы испытывает земная атмосфера, а также земная кора.

Задача трёх и более тел. Точки Лагранжа

• Определение движения трёх тел, взаимно притягивающих друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, называется задачей трёх тел.

• Общее аналитическое решение задачи трёх тел не найдено. Известно 5 частных точных решений (точки Лагранжа) для специальных начальных значений взаимных расстояний и скоростей. В этих решениях отношения расстояний между всеми тремя телами во время движения остаются постоянными.

• Точки Лагранжа – частный случай при решении ограниченной задачи трёх тел (когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других). В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами.

В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой.

• Три решения (Л. Эйлер) имеют место, если все три тела находятся на одной прямой (коллинеарные точки, L 1, L 2 и L 3).

• Ещё две точки (Ж. Лагранж) расположены в вершинах

равносторонних треугольников с основанием, совпадающим с отрезком, соединяющим два массивных тела (треугольные или троянские точки, L 4 и L 5).

• В системе Солнце — Юпитер в окрестностях точек L 4 и L 5 находятся т. н. троянские астероиды. Сейчас известно более сотни астероидов в точках L 4 и L 5.

• В системе Сатурн — Тефия в точках L 4 и L 5 находятся два

небольших спутника — Телесто и Калипсо. Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн — Диона: Елена в точке L 4 и Полидевк в точке L 5.

• В настоящее время несколько космических аппаратов размещены в различных точках Лагранжа Солнечной системы: SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) находится на орбите в точке L 1 между Землёй и Солнцем;

WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), изучающий реликтовое излучение — в точке L 2 за орбитой Земли.