Краткие сведения о кинематике и динамике волн.

Однородная изотропная идеально упругая среда.

В идеально упругой среде существует линейная связь между напряжениями и деформациями, которая описывается законом Гука. Коэффициенты этой связи называются упругими постоянными среды. Для изотропной среды число независимых упругих постоянных равно двум. Часто употребляются такие пары упругих постоянных ([7], стр. 4-5):

1. Модуль растяжения (модуль Юнга) Е, коэффициент Пуассона .

2. Коэффициенты Ламэ и ( - модуль сдвига).

3. Модуль всестороннего сжатия К и модуль сдвига .

Между ними существуют следующие связи:

; ; ; (1. 1)

В такой среде существуют только два типа упругих волн - продольная (Р) и поперечная (S), скорости которых определяются по формулам:

; ; (1. 2)

где - плотность среды.

Полупространство.

Вдоль плоской свободной поверхности однородного твердого полупространства могут распространяться поверхностные волны Релея, траекторией движения частиц в которых является эллипс. Скорость волн Релея определяется скоростями продольной и поперечной волн и их отношением. В целом ([7], стр. 20-21)

(1. 3)

В реальных условиях в верхней части разреза существует слой пониженной скорости. Скорость распространяющейся в этом случае псевдорелеевской волны зависит от ее длины, т.е. наблюдается дисперсия скорости. Волны, длина которых значительно меньше мощности слоя Н, распространяются практически целиком лишь по верхнему слою, и их скорость определяется свойствами этого слоя. Длинные волны ( > Н) проникают глубже поверхностного слоя, и их скорость во многом определяется свойствами нижележащих отложений. Так как при импульсном возбуждении колебаний образуются волны разной длины, то при регистрации поверхностной волны форма ее меняется в зависимости от расстояния за счет неодинакового запаздывания разных частотных составляющих - происходит растяжение волны (cм. рис.31, глава IY).

Плоские волны и плоские границы раздела

При нормальном падении плоской волны (продольной или поперечной) на плоскую границу раздела образуются две монотипные (т.е. такого же типа) волны - отраженная и проходящая.

Коэффициент отражения (для смещения частиц)

(1. 4)

где и - скорости волн в первой и второй средах;

и - плотности первой и второй среды;

- акустическая жесткость среды.

Коэффициент прохождения (для смещений частиц)

(1. 5)

Ослабление волны при прохождении границы в прямом и обратном направлении (влияние промежуточной границы на отраженную волну)

(1. 6)

При наклонном падении плоской волны на плоскую границу раздела образуются четыре волны - два типа отраженных и два типа проходящих (преломленных) волн. В формулы для коэффициентов отра­жения и преломления при этом входят значение угла падения и соотношения скоростей волн в обеих средах ([7], стр. 21).

Углы отражения и преломления связаны законом Снеллиуса (рис.1)

(1. 7)

Идеально упругая среда с объемными неоднородностями.

За счет рассеяния на неоднородностях проходящая сейсмическая волна с расстоянием затухает

(1. 8)

где и - амплитуды волны в начальной точке среды и на расстоянии от нее;

- коэффициент рассеяния.

Величина коэффициента рассеяния зависит от размеров и акустической контрастности неоднородностей среды и обычно увеличивается с уменьшением длины волны.

Рассеянные волны, накладываясь на проходящие волны, вызывают флуктуации их амплитуд и времен прихода - образуют сейсмическую мутность среды ([7], стр. 73-75).

Неидеально упругая среда.

В целом, для таких сред закон Гука не справедлив. Однако для изучения распространения сейсмических волн в таких средах можно использовать модифицированный закон Гука, где упругие постоянные имеют комплексную форму и зависят от частоты. В первом приближении изменением скорости волн за счет неидеальной упругости в реальных средах можно пренебречь, а уменьшение амплитуды волн за счет пог­лощения энергии волн в среде можно учитывать следующим образом:

(1. 9)

где и - амплитуды волны в начальной точке среды и на расстоянии от нее;

- коэффициент поглощения.

Для большинства сред коэффициент поглощения линейно возрастает с частотой колебаний [5, стр. 55]

(1.10)

где - постоянная поглощения, зависящая от своиств среды.

Для некоторых сред эта зависимость близка к квадратичной [5, стр. 56]

(1.11)

Так как затухание сейсмических волн вследствие поглощения их в неидеально упругой среде проявляется во многом так же, как и за­тухание вследствие рассеяния на неоднородностях среды, то большинство способов определения коэффициентов поглощения по записям сейсмических волн не позволяет разделить эти два эффекта. Поэтому часто говорят об эффективных коэффициентах затухания, включая в это понятие и рассеяние волн.

Сферические волны.

Плотность энергии сферической волны с удалением от источника уменьшается за счет расхождения фронта волны обратно пропорционально квадрату расстояния . Энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды. Следовательно

(1.12)

где и - амплитуды колебаний на расстояния и .

Поверхностная волна затухает медленнее

(1.13)

Вследствие этого поверхностные волны являются часто сильной помехой в сейсморазведке.

При изучении распространения волн с произвольными фронтами в сложнопостроенных средах используются следующие принципы.

Принцип Гюйгенса.

Каждая точка, до которой дошло возбуждение, является источ­ником вторичных волн; поверхность, огибающая фронты этих вторичных волн, указывает положение фронта действительно распространяющейся волны (рис. 2).

Принцип Ферма.

Действительный путь распространения волны из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения которого волне требуется минимальное (экстремальное) время по сравнению с любым другим путем.

Принцип взаимности.

Время распространения монотипной волны из одной точки в другую не изменится, если поменять местами источник и приемник.

 

Годографы волн.

 

Годограф - это график зависимости времени вступления (экстремума) волны от координат точек наблюдений. Уравнение годографа

Кажущаяся скорость (V*) - скорость распространения волны вдоль линии наблюдений

(1.14)

Для плоской волны

(1.15)

где - угол выхода волны на поверхность;

- истинная скорость волны в среде.

Годограф прямой волны в однородной среде при наблюдении на прямолинейном продольном профиле является наклонной прямой линией (рис. 3). Уравнение годографа

(1.16)

Кажущаяся скорость прямой волны равна истинной скорости

Годограф отраженной волны от плоской отражающей границы, нак­лоненной под углом к линии наблюдений, и при однородной покрывающей толще со скоростью представляет собой гиперболу. Уравнение годографа (рис. 3)

(1.17)

в случае горизонтальной границы принимает вид

(1.18)

Кажущаяся скорость отраженной волны

(1.19)

меняется от при до при .