Ускорение под действием силы тяжести

 

Галилей показал, что падающее дело движется равноускоренно, то есть его скорость увеличивается на одну и ту же величину за одинаковые промежутки времени. Сейчас мы эту закономерность выражаем так: тело, изначально находившееся в покое, спустя время t от момента начала падения приобретет скорость v, пропорциональную t:

 

 

v = gt,

 

где g – константа, которая характеризует поле силы тяжести на поверхности Земли. Хотя g несколько отличается в различных точках земной поверхности, она нигде не отклоняется значительно от 9,8 м/с за секунду.

Согласно теореме о средней скорости расстояние, которое преодолеет такое падающее тело с момента начала падения до t, будет равняться vсредt, где vсред – среднее арифметическое между величиной gt и нулем, то есть vсред = gt /2. Следовательно, расстояние, проходимое за время падения, равно:

 

 

В частности, за первую секунду падения тело пролетает g (1 секунда)²/2 = 4,9 м. Время, которое требуется падающему телу, чтобы пройти заданное расстояние, в общем случае равно:

 

 

На полученный результат можно взглянуть с иной, более современной точки зрения. Полная энергия падающего тела равна сумме двух слагаемых: его кинетической и потенциальной энергии. Кинетическая энергия выражается как:

 

 

где m – масса тела. Потенциальная энергия – это произведение mg на текущую высоту (измеряемую относительно любого произвольно выбранного уровня). Поэтому если тело сбрасывается с некоторой начальной высоты h 0 и проходит в падении расстояние d, то его потенциальная энергия равна:

 

 

Значит, учитывая, что d = gt² /2, полная энергия тела – постоянная величина:

 

 

Это правило мы можем обратить и вывести соотношение между скоростью и пройденным расстоянием, беря за основу закон сохранения энергии. Если в нулевой момент времени t = 0, когда v = 0 и h = h 0, мы считаем полную энергию E равной mgh 0, то согласно закону сохранения энергии в любой момент времени справедливо:

 

 

из чего следует, что v ²/2 = gd. Поскольку v – это мера того, как увеличивается d, то, что мы получаем, – это дифференциальное уравнение, определяющее связь между d и t. Конечно, мы уже знаем решение этого уравнения: d = gt ²/2, при этом v = gt. Таким образом, используя закон сохранения энергии, мы можем получить те же самые результаты, не зная заранее, что ускорение падающего тела постоянно.

Мы увидели элементарный пример использования этого закона, который позволяет разнообразно применять понятие об энергии. В частности, закон сохранения энергии доказывает правильность того, что эксперименты Галилея с шариками, скатывающимися по наклонной плоскости, верно моделируют задачу о свободном падении, хотя сам Галилей не приводил его в качестве аргумента. Для шарика массой m, скатывающегося по наклонной плоскости, кинетическая энергия равна mv ²/2, причем здесь v – скорость движения шарика вдоль плоскости, а потенциальная энергия равняется mgh, где h – текущая высота шарика. Дополнительным слагаемым тут служит энергия вращения шарика, которая выражается таким образом:

 

 

где r – радиус шарика, ν – число полных оборотов катящегося шарика в секунду, а ζ – величина, которая зависит от распределения массы внутри самого шарика и его формы. Применительно к экспериментам Галилея, который, скорее всего, использовал сплошные твердые шары, значение ζ = 2/5 (для пустотелого шара, например, ζ = 2/3). Теперь заметим, что, когда шарик совершает один полный оборот, он проходит расстояние, равное длине его окружности 2 πr, поэтому в течение времени t, за которое он совершает ν t оборотов, полное пройденное расстояние составляет d = 2 πr ν t, и значит, его скорость равняется d / t = 2 π ν r. Подставляя это выражение в формулу энергии вращательного движения, получаем:

 

 

Поделив обе части на m и на 1 + ζ, используем закон сохранения энергии и получим уравнение:

 

 

Это та же самая зависимость между скоростью и перепадом высоты d = h 0 – h, которая справедлива и для свободно падающего тела, с тем лишь отличием, что g заменяется на g /(1 + ζ). Если эту замену не учитывать, зависимость скорости шарика, катящегося вниз по наклонной плоскости, от проходимого перепада высоты та же самая, что и для тела в свободном падении. Это означает, что, изучая скатывание шаров по наклонной плоскости, можно доказать, что и свободно падающие тела движутся равноускоренно. Однако таким образом нельзя рассчитать ускорение, если не учитывать реальное значение коэффициента 1/(1 + ζ).

Путем сложных доказательств Гюйгенс сумел выразить время, которое требуется маятнику длины L, чтобы переместиться с одной стороны на другую с небольшим углом, равенством:

 

 

Полученный Гюйгенсом результат означал, что это время в π раз больше, чем то время, которое нужно падающему телу, чтобы пройти расстояние d = L /2.

 

Параболические траектории

 

Предположим, что пулю или снаряд выстреливают горизонтально со скоростью v. Если не учитывать сопротивление воздуха, пуля будет продолжать лететь горизонтально с одной и той же скоростью и одновременно двигаться равноускоренно вертикально вниз. Поэтому спустя время t после выстрела она пролетит расстояние по горизонтали x = vt и потеряет высоту z, пропорциональную квадрату времени. Принято выражать это формулой z = gt ²/2, где g = 9,8 м/с за секунду – эту константу измерил Гюйгенс уже после кончины Галилео Галилея. Поскольку t = x / v, значит:

 

 

График значений этого уравнения, в котором одна координата пропорциональна квадрату другой, имеет вид параболы.

Обратите внимание, что если ружье было расположено на высоте h над землей, то пуля пролетит по горизонтали расстояние √(2 v ² h / g) до того, как упадет на землю в момент, когда вертикальный перепад высоты z сравняется с h. Даже не зная значений v или g, Галилей мог убедиться, что путь, проходимый пулей, представляет собой параболу, измеряя расстояния d для различных начальных высот ствола ружья h и проверяя, что d всегда остается пропорциональным квадратному корню из h. Неизвестно, проделывал ли Галилей такие эксперименты на самом деле, но есть свидетельства, что в 1608 г. он провел близкий по смыслу эксперимент, о котором мы кратко говорили в главе 12. В нем шарик скатывался по наклонной плоскости на стол с различных начальных высот H, затем свободно катился по оставшейся горизонтальной поверхности стола и, наконец, слетал с его края. Как показано в техническом замечании 25, скорость шарика в момент достижения им нижней точки наклонной плоскости равна:

 

 

где g – обычное значение 9,8 м/с за секунду, а ζ – отношение энергии вращения шарика к его кинетической энергии, постоянная, зависящая от распределения массы внутри катящегося шарика. Для твердотельного шара равномерной плотности ζ = 2/5. Ту же самую скорость шарик имеет и в тот момент, когда соскакивает с края стола, поэтому горизонтальное расстояние, которое шарик после этого пролетит за то время, которое ему потребуется, чтобы упасть на глубину h, будет равно:

 

 

Галилей не упоминал поправку на вращательное движение, выражаемую коэффициентом ζ, но он мог подозревать, что наличие такой поправки уменьшает горизонтальное расстояние, которое преодолевает шар, поскольку он не стал сравнивать это расстояние с величиной d = √(Hh), которую можно было бы ожидать, не учитывая ζ, а лишь проверял тот факт, что для фиксированной высоты стола h пройденное расстояние d было действительно пропорционально √(H) с точностью до нескольких процентов. По каким-то причинам Галилей так ни разу и не опубликовал результаты этого эксперимента.

 

Для множества задач в астрономии и математике удобно представлять параболу как предельный частный случай эллипса, один фокус которого находится очень далеко от другого. Как демонстрировалось в техническом замечании 18, уравнение эллипса с большой осью 2 a и малой осью 2 b таково:

 

 

В нем мы для удобства выполнения дальнейшего анализа заменили координаты x и у, которые использовали в техническом замечании 18, на z – z 0 и x, соответственно, где z 0 – произвольно выбираемая константа. Центр этого эллипса находится в точке с координатами z = z 0 и x = 0. Как мы видели в замечании 18, фокус эллипса находится в точке z – z 0 = − ae, x = 0, где e – эксцентриситет, определяемый как e ² ≡ 1 − b ²/ a ², а точка, в которой кривая находится ближе всего к этому фокусу, расположена в z − z 0 = − a и x = 0. Удобнее обозначить именно эту точку наибольшего сближения с фокусом координатами z = 0 и x = 0, выбрав значение z 0 равным a, и в этом случае ближайший фокус окажется расположен от нее на расстоянии z = z 0 – ea = (1 – e) a. Теперь мы хотим сделать a и b бесконечно большими, так что противоположный фокус эллипса удалится в бесконечность и у нашей кривой не будет определенной максимальной координаты x, но при этом нужно, чтобы расстояние между фокусом и точкой наиболее тесного сближения с кривой (1– e) a оставалось бы конечным, так что мы задаем:

 

 

где l остается постоянной, в то время как a стремится к бесконечности. Так как e здесь предельно приближается к единице, малая полуось будет выражаться как:

 

 

Принимая, что z 0 = a, и используя эту формулу для b ², приведем уравнение эллипса к следующему виду:

 

 

Из левой части вычитаем слагаемое a ²/ a ², а из правой – равную ему единицу. Затем обе части умножаем на a и получаем:

 

 

В случае, когда a значительно больше x, y или l, можно опустить первый член, и уравнение приходит к виду:

 

 

Это то же самое уравнение, которое мы выше вывели для описания движения горизонтально выстреливаемой пули, если мы примем, что:

 

 

так что фокус параболы F находится на расстоянии l = v ²/2 g ниже начальной позиции пули (см. рис. 19).

 

Рис. 19. Параболическая траектория пули, которой стреляют горизонтально с возвышенности. Точка F – фокус параболы.

 

Параболы, как и эллипсы, можно рассматривать как конические сечения, но в случае параболы плоскость, которой рассекается конус, параллельна поверхности конуса. Принимая, что уравнение конуса, центральная ось которого совпадает с осью z, имеет вид √(x ² + y ²) = α (z − z 0), а уравнение плоскости, параллельной данному конусу, просто y = α (z − z 0), где z 0 – произвольная константа, кривая пересечения конуса и плоскости удовлетворяет равенству:

 

 

Сокращая члены α² z ² и α² z 0², переходим к виду:

 

 

что совпадает с уже полученной нами формулой в случае, когда z 0 = l /α². Обратите внимание, что парабола любой формы может быть получена сечением любого конуса при любом значении углового коэффициента α, потому что форма параболы (но не ее расположение или ориентация) целиком зависит лишь от аргумента l, выражаемого в единицах длины. Нам не нужен никакой безразмерный параметр наподобие α или эксцентриситета эллипса.