Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Непрерывные случайные величиныСодержание книги Поиск на нашем сайте
Непрерывную случайную величину невозможно задать, указывая вероятности, с которыми принимаются ее значения. Вероятность принять фиксированное значение равна 0. Имеет смысл говорить только о вероятности попадания в заданный промежуток. На этом основан способ задания случайной величины с помощью функции распределения, которая может быть определена для всех типов случайных величин, а не только для непрерывных. Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x) = P (X < x). Пример 1. Построить функцию распределения случайной величины Х:
Изобразить ее график. Решение. Если x £ 0, то событие X < x невозможное: у Х нет значений, меньших 0. Поэтому для этого случая F (x) = 0. Если 0 < x £ 1, то событие X < x означает, что Х = 1: это единственное значение Х, меньшее таких х. Поэтому для этого случая F (x) = 0,3. Если 1 < x £ 3, то событие X < x означает, что Х принимает значение 0 или 1. Суммируя соответствующие вероятности, получаем для этого случая F (x) = 0,3 + 0,6 = 0,9. Наконец, если x > 3, то событие X < x достоверное: все значения Х удовлетворяют неравенству X < x для таких х. Поэтому для этого случая F (x) = 1. Следовательно, функция распределения имеет вид Ее график: Замечание. Соблюдать на графике одинаковый масштаб по осям абсцисс и ординат нет необходимости, так как по этим осям откладываются разнородные величины. В приведенном примере график функции распределения разрывный, так как случайная величина дискретная. Для непрерывной случайной величины график функции распределения непрерывный. Теорема 1.10.1. Свойства функции распределения. 1*. 0 £ F (x) £ 1. 2*. F (– ¥) = 0, F (+¥) = 1 (имеются в виду соответствующие пределы). 3*. Р (a < Х < b) = F (b) – F (a) (строгие неравенства можно заменить нестрогими). Дадим графическую иллюстрацию последней формулы. На рисунке вероятности попадания в промежутки (a, b) и (c, d) равны длинам соответствующих отрезков, выделенных на оси ординат жирными линиями. Видим, что хотя интервал (a, b) значительно короче (c, d), вероятность попадания в него больше. Причина этого в том, что на первом интервале график F (x) значительно круче, то есть функция F (x) возрастает быстрее. Но крутизна графика функции характеризуется ее производной, график которой дает более наглядное представление о скорости возрастания функции, чем график самой функции. На этом основан другой способ задания непрерывной случайной величины. Определение. Плотностью вероятности случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, то есть f (x) = F ¢(x). Теорема 1.10.2. Свойства плотности вероятности. 1*. f (x) ³ 0. 2*. = 1. 3*. Р (a < Х < b) = (строгие неравенства можно заменить нестрогими). 4*. F (x) = . Геометрический смысл свойства 2*: площадь под графиком функции f (x) равна 1. Геометрический смысл свойства 3*: вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком f (x) и прямыми x = a, x = b. С помощью плотности вероятности можно вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины. Математическое ожидание: МХ = . Дисперсия: DX = M (X 2) – M (X)2, где M (X 2) = . Пример 2. Дана функция распределения случайной величины Х: Найти ее плотность вероятности. Построить графики функции распределения и плотности вероятностей. Найти MX, DX, σ(X) и вероятность того, что 1< Х < 3. Решение. Графики функций приведены на рисунках. Замечание. График функции распределения должен быть непрерывным. График плотности вероятностей может иметь разрывы, что мы и видим на рисунке. Это отразилось и на области определения этой функции: в точке 0 она определена, в точке 2 не определена. МХ = = = = = ; M (X 2) = = = = = 2; DX = M (X 2) – M (X)2 = 2 – = ; σ(X) = ; Р (1< Х < 3) = F (3) – F (1) = 1 – = 0,75. Упражнения 10.1. Дана функция распределения случайной величины Х: Найдите ее плотность вероятности. Постройте графики функций F (x)и f (x). Найдите MX, DX, σ(X) и вероятность того, что –1< Х < 1. 10.2. Значения случайной величины Х принадлежат отрезку [1; 5]. Плотность вероятности на этом отрезке постоянна, f (x) = p. Найдите значение р. 10.3. Значения случайной величины Х принадлежат отрезку [0; 4]. Плотность вероятности на этом отрезке имеет вид f (x) = cx. Найдите значение c.
|
||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 221; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.14.247.170 (0.005 с.) |