Непрерывные случайные величины

Непрерывную случайную величину невозможно задать, указывая вероятности, с которыми принимаются ее значения. Вероятность принять фиксированное значение равна 0. Имеет смысл говорить только о вероятности попадания в заданный промежуток. На этом основан способ задания случайной величины с помощью функции распределения, которая может быть определена для всех типов случайных величин, а не только для непрерывных.

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x) = P (X < x).

Пример 1. Построить функцию распределения случайной величины Х:

X
P	0,3	0,6	0,1

Изобразить ее график.

Решение. Если x £ 0, то событие X < x невозможное: у Х нет значений, меньших 0. Поэтому для этого случая F (x) = 0.

Если 0 < x £ 1, то событие X < x означает, что Х = 1: это единственное значение Х, меньшее таких х. Поэтому для этого случая F (x) = 0,3.

Если 1 < x £ 3, то событие X < x означает, что Х принимает значение 0 или 1. Суммируя соответствующие вероятности, получаем для этого случая F (x) = 0,3 + 0,6 = 0,9.

Наконец, если x > 3, то событие X < x достоверное: все значения Х удовлетворяют неравенству X < x для таких х. Поэтому для этого случая F (x) = 1.

Следовательно, функция распределения имеет вид

Ее график:

Замечание. Соблюдать на графике одинаковый масштаб по осям абсцисс и ординат нет необходимости, так как по этим осям откладываются разнородные величины.

В приведенном примере график функции распределения разрывный, так как случайная величина дискретная. Для непрерывной случайной величины график функции распределения непрерывный.

Теорема 1.10.1. Свойства функции распределения.

1*. 0 £ F (x) £ 1.

2*. F (– ¥) = 0, F (+¥) = 1 (имеются в виду соответствующие пределы).

3*. Р (a < Х < b) = F (b) – F (a) (строгие неравенства можно заменить нестрогими).

Дадим графическую иллюстрацию последней формулы.

На рисунке вероятности попадания в промежутки (a, b) и (c, d) равны длинам соответствующих отрезков, выделенных на оси ординат жирными линиями. Видим, что хотя интервал (a, b) значительно короче (c, d), вероятность попадания в него больше. Причина этого в том, что на первом интервале график F (x) значительно круче, то есть функция F (x) возрастает быстрее. Но крутизна графика функции характеризуется ее производной, график которой дает более наглядное представление о скорости возрастания функции, чем график самой функции. На этом основан другой способ задания непрерывной случайной величины.

Определение. Плотностью вероятности случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, то есть f (x) = F ¢(x).

Теорема 1.10.2. Свойства плотности вероятности.

1*. f (x) ³ 0.

2*. = 1.

3*. Р (a < Х < b) = (строгие неравенства можно заменить нестрогими).

4*. F (x) = .

Геометрический смысл свойства 2*: площадь под графиком функции f (x) равна 1. Геометрический смысл свойства 3*: вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком f (x) и прямыми x = a, x = b.

С помощью плотности вероятности можно вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание:

МХ = .

Дисперсия:

DX = M (X ²) – M (X)², где M (X ²) = .

Пример 2. Дана функция распределения случайной величины Х:

Найти ее плотность вероятности. Построить графики функции распределения и плотности вероятностей. Найти MX, DX, σ(X) и вероятность того, что 1< Х < 3.

Решение.

Графики функций приведены на рисунках.

Замечание. График функции распределения должен быть непрерывным. График плотности вероятностей может иметь разрывы, что мы и видим на рисунке. Это отразилось и на области определения этой функции: в точке 0 она определена, в точке 2 не определена.

МХ = = = = = ;

M (X ²) = = = = = 2;

DX = M (X ²) – M (X)² = 2 – = ;

σ(X) = ;

Р (1< Х < 3) = F (3) – F (1) = 1 – = 0,75.

Упражнения

10.1. Дана функция распределения случайной величины Х:

Найдите ее плотность вероятности. Постройте графики функций F (x)и f (x). Найдите MX, DX, σ(X) и вероятность того, что –1< Х < 1.

10.2. Значения случайной величины Х принадлежат отрезку [1; 5]. Плотность вероятности на этом отрезке постоянна, f (x) = p. Найдите значение р.

10.3. Значения случайной величины Х принадлежат отрезку [0; 4]. Плотность вероятности на этом отрезке имеет вид f (x) = cx. Найдите значение c.