Построение модели нелинейной парной регрессии, анализ статистической значимости и выполнение прогноза

Цель: провести спецификацию модели; оценить параметры линеаризованного уравнения показательной парной регрессии; проанализировать статистическую значимость показательного уравнения парной регрессии; оценить тесноту связи фактора с результативным признаком; выполнить прогнозирование; интерпретировать результаты; проверить полученные результаты с помощью ППП MS Excel.

Теоретические сведения

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х: ,

где у – зависимая переменная (результативный признак);х – независимая, объясняющая переменная (признак - фактор).Различают линейные и нелинейные регрессии. Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

- полиномы разных степеней

- равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

- степенная

- показательная

- экспоненциальная

При оценке параметров нелинейных регрессий используют МНК, предварительно преобразовывая уравнение к линейному виду:

- для равносторонней гиперболы вида , заменив на z, получим линейное уравнение регрессии: и система нормальных уравнений составит:

- для полулогарифмической кривой , заменив lnx на z, получим линейное уравнение регрессии

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, подразделяются на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью логарифмирования уравнения по основанию e или 10 может быть приведена к линейному виду. Например, для оценки параметров степенной функции применяется метод наименьших квадратов к линеаризованному уравнению , т.е. решается система нормальных уравнений: .

Параметр определяется непосредственно из системы, а параметр а – косвенным путем после потенцирования величины lnа.

Нелинейная модель внутренне нелинейная (например, ) не может быть преобразована в уравнение, линейное по коэффициентам. Для оценки параметров в этом случае используют итеративные процедуры.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает индекс корреляции для нелинейной регрессии : ,

где общая дисперсия результативного признака - остаточная дисперсия, определяемая исходя из уравнения регрессии

Для оценки качества подбора функции рассчитывается квадрат индекса корреляции, называемый индексом детерминации. Индекс детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака: .

Коэффициент эластичности, средняя ошибка аппроксимации определяются аналогично линейной парной регрессии (см. лабораторную работу №1).

Оценка значимости уравнения нелинейной парной регрессии в целом дается с помощью F – критерии Фишера и выполняется аналогично оценке значимости уравнения линейной парной регрессии (см. лабораторную работу №1).

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза:

, где . и строится доверительный интервал прогноза, границы которого определяются как предельная ошибка прогноза.

 

Постановка задачи

По территориям региона приводятся данные за 199Х год (табл.6).

Таблица 6

№ региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день, руб.,x	Среднедневная заработная плата, руб., y

Продолжение таблицы 6

Требуется:

1. Для характеристики зависимости y от x:

а) построить показательное уравнение парной регрессии у от х;

б) оценить тесноту связи с помощью индексов корреляции и детерминации;

в) оценить качество показательного уравнения парной регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации;

г) дать оценку силы связи с помощью среднего коэффициента эластичности;

д) оценить статистическую значимость результатов регрессионного моделирования с помощью F – критерия Фишера.

е) найти прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза при уровне значимости =0,05.

2. Проверить полученные результаты с помощью ППП MS Excel.

Методические рекомендации и выполнение

1. а) Построению показательной модели y=a·b^x предшествует процедура линеаризации переменных. Логарифмируя обе части уравнения, получим:

ln y = ln a+ x·lnb. Введем обозначения: , , .Тогда уравнение запишется в виде: .Параметры полученной линейной модели рассчитываем аналогично тому, как это было сделано в лабораторной работе № 1. Используем данные расчетной таблицы 7

Таблица 7

Построим линейное уравнение парной регрессии Y по х. Используя данные таблицы 7, имеем: ,

.

Получим линейное уравнение регрессии: .

Проведя потенцирование уравнения, получим искомую нелинейную показательную модель:

.

б) Для расчета индекса корреляции нелинейной регрессии воспользуемся таблицу 7 .

Найдем индекс детерминации: .

Это означает, что 52% вариации заработной платы у объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума.

в) Для оценки качества полученной модели найдем среднюю ошибку аппроксимации: .

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 5,851%. Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. значение – менее 8 %.

г) Для оценки силы связи признаков у и х найдем средний коэффициент эластичности: , где ,

Таким образом, в среднем на 0,48% по совокупности изменится среднедневная зарплата от своей средней величины при изменении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%.

д) Рассчитаем фактическое значение F – критерия при заданном уровне значимости = 0,05

.

Сравнивая табличное F_табл=4,96 (см. лабораторная работа №1) и фактическое значения, отмечаем, что , это указывает на необходимость отвергнуть гипотезу Н _о о статистически незначимых параметрах уравнения показательной парной регрессии.

ж) По условию задачи прогнозное значение фактора выше его среднего уровня на 5%, тогда оно составляет: ,

и прогнозное значение зарплаты при этом составит:

руб.

Найдем ошибку прогноза:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит: .

Доверительный интервал прогноза при уровне значимости = 0,05:

(129,4589; 187,9211).

2. Проверим полученные результаты с помощью ППП MS Excel.

Результаты вычисления параметров показательной парной регрессии можно проверить с помощью ППП Excel, для чего используем встроенную статистическую функцию ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН (см. лабораторную работу №1).

В результате применения функции ЛГРФПРИБЛ дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном выше (табл. 4 лабораторной работы №1), причем в первой строке таблицы (рис.11) функция ЛГРФПРИБЛ возвращает коэффициенты показательной модели, остальные параметры соответствуют линеаризованной модели (рис.11).

 

Рис. 11. Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ

 

Прогнозное значение результата определим следующим образом:

1) активизируйте Мастер функций,

2) в окне Категория(рис. 12) выберите Статистические, в окне Функция – РОСТ (рис. 3);

 

Рис.12. Диалоговое окно «Мастер функций»

Рис.13. Диалоговое окно ввода аргументов функции РОСТ

3) заполните аргументы функции (рис.13)

Изв знач у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Изв знач х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Нов _ знач _ х – новые значения х, для которых возвращается соответствующие значения у;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается свободным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

В данном случае прогнозируемое значение получилось равным 158,69. Сравнивая полученные вручную и с помощью ППП MS Excel. данные, убеждаемся в правильности выполненных действий.

 

Варианты заданий лабораторной работы №2

По территориям региона приводятся данные за 199Х год (табл.8).

Таблица 8

№ региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день, руб.,x	Среднедневная заработная плата, руб., y
	70+2i
	90-4j
	80+i
	90-3i
	90+i
	110-5i
	60+j
	90-2j
	80-j
	87+0,5i
	75-0,1j
	110+0,1i

где i, j две последние цифры номера зачетной книжки соответственно.

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х:

а) построить показательное уравнение парной регрессии у от х;

б) оценить тесноту связи с помощью индексов корреляции и детерминации;

в) оценить качество показательного уравнения парной регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации;

г) дать оценку силы связи с помощью среднего коэффициента эластичности;

д) оценить статистическую значимость результатов регрессионного моделирования с помощью F – критерия Фишера.

е) найти прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза при уровне значимости =0,05.

2. Проверить полученные результаты с помощью ППП MS Excel.

 

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоят ошибки спецификации модели?

2. Поясните смысл коэффициента регрессии, назовите способы его оценивания.

3. Что такое число степеней свободы и как оно определяется для факторной, остаточной, общей сумм квадратов?

4. Какова концепция F – критерия Фишера для показательной парной регрессии?

5. Каковы методы подбора вида математической функции .

6. Какова концепция дисперсионного анализа результатов регрессии?

7. Как находится интервальная оценка прогнозного значения по уравнению регрессии?

8. Запишите все виды моделей, нелинейных относительно:

- включаемых переменных;

- оцениваемых параметров.

9. В чем отличие применения МНК к моделям, нелинейным относительно включаемых переменных и оцениваемых параметров?

10. Как определяются коэффициенты эластичности?

11. Назовите показатели корреляции, используемые при нелинейных соотношениях рассматриваемых признаков.

12. В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется?

 

Содержание отчета по лабораторной работе:

1) тема и цель лабораторной работы;

2) текст задания лабораторной работы;

3) результаты, зафиксированные на бумаге, в соответствии с изложенным выше выполнением типового задания лабораторной работы;

4) электронный вариант выполнения лабораторной работы;

5) защита лабораторной работы.

Лабораторная работа №3