Работа с окнами системы matlab.

Порядок выполнения.

1. Упражнения выполняются параллельно с изучением теоретического материала из параллельного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», см. приложения, лекции и другую литературу.

2. Большинство упражнений необходимо предварительно решать в тетради.

3. При выполнении упражнений в случае появления сообщения об ошибке рекомендуется сначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху, - проконсультироваться с преподавателем.

4. Дома доделать примеры и упражнения, которые Вы не успели выполнить во время занятия; выполнить дополнительные упражнения для самостоятельной работы и ответить на контрольные вопросы.

5. Подготовить отчёт, в который включить результаты по упражнениям и развернутые ответы на контрольные вопросы. Отчёт представить
в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): «мп_17_Иванов_Павел_лаб_1_1» (факультет_группа_Фамилия студента_Имя студента_номер лабораторной). По каждому выполненному упражнению отчет должен содержать:

· № упражнения; текст упражнения;

· команды, скопированные из командного окна, с комментариями к ним

· результаты их выполнения, включая построенные графики;

· выводы и комментарии к полученным результатам.

*Без предъявления письменных решений электронный отчет не рассматривается. **При проверке решений и отчета у преподавателя не должно возникать необходимости обращаться к источнику задания.

Работа с системой MATLAB.

Работа с окнами системы MATLAB.

MATLAB (MATrix LABoratory) - интерактивный матрично- ориентированный пакет, предназначенный для выполнения научных и инженерных расчетов.

После запуска пакета появляется рабочий стол (Desktop), состоящий из строки заголовка, строки главного меню, панели инструментов и комбинированного окна.

Горячие клавиши переключения между окнами Ctrl+F6 или на панели задач нажатием правой кнопкой мыши выберете удобный для вас режим работы с окнами, например, режим «окна сверху вниз», тогда вы будете видеть сразу оба документа.

Комбинированное окно (Desktop) включает четыре панели:

Command Window (Окно команд) - самое используемое окно. В нем набирают команды пользователя, подлежащие немедленному исполнению. Здесь же выдаются результаты выполненных команд.

 

Command History (История команд) хранит все команды, набираемые пользователем, однако в отличие от содержимого Command Window (Окно команд) сюда не попадают сообщения системы и результаты вычислений.

 

Workspace (Рабочее пространство) отображает текущий набор переменных, заведенных пользователем в командном окне.

Current Directory (Текущий каталог) является аналогом известной программы Проводник, но имеет для MATLAB свое особое предназначение. Дело в том, что, кроме работы с математическими выражениями из командного окна, пользователь также может работать с файлами.

 

Переключение между окнами MATLAB реализуется с помощью щелчка левой кнопки мыши в области соответствующего окна или на одной из вкладок, если нужное окно полностью закрыто другим окном. Конфигурацию окон на экране можно менять, используя вертикальные и горизонтальные разделители. Можно изменять размер окон в пределах рабочего стола, перемещать окна по экрану с помощью перетаскивания строки заголовка соответствующего окна, закрывать их (крестик) и отделять от рабочего стола (стрелочка). Чтобы в точности восстановить исходную конфигурацию нужно пройти путь: Desktop (команда Рабочий стол в строке главного меню) → Desktop Layout (разметка рабочего стола) → Default (по умолчанию). Для сохранения собственной конфигурации выберите Save Layout.

Упражнение 1. Работа с окнами системы MATLAB.

1. Последовательно переключитесь между окнами Command Window, Command History, Current Directory, Workspace, Command Window.

2. С помощью вертикального разделителя уменьшите вдвое ширину Command Window, увеличив при этом ширину окон Workspace и Command History.

3. Отсоедините окно Current Directory с помощью стрелочки Undock Current Directory в правом верхнем углу окна Current Directory слева от крестика Close Current Directory и перенесите его в правый нижний угол рабочего стола МАТЛАБ, после чего сверните его.

4. Присоедините к рабочему столу Current Directory, нажав на стрелочку Dock Current Directory в правом верхнем углу окна Current Directory

5. Удалить с рабочего стола Current Directory, нажав на крестик Close Current Directory в правом верхнем углу этого окна.

6. Перетащите Command History в левый верхний угол рабочего стола, с помощью перетаскивания за строку с названием окна, дождитесь пока в левом верхнем углу появиться контур нового положения окна. В результате выполнения команд окно Current Directory должно оказаться под окном Workspace.

7. Удалите с рабочего стола Command History. Вернуть его, с помощью последовательности команд: Desktop ( команда Рабочий стол в строке главного меню ) → Workspace (поставить галочку).

8. С помощью горизонтального разделителя увеличить примерно на треть высоту Workspace.

9. Удалить с рабочего стола Workspace, с помощью последовательности команд: Desktop( команда Рабочий стол в строке главного меню ) → Workspace ( убрать галочку ). Вернуть его, с помощью последовательности команд: Desktop → Workspace (поставить галочку).

10. Восстановить исходную конфигурацию рабочего стола: Desktop → Desktop Layout → Default (по умолчанию).

11. Выберете для себя наиболее удобную конфигурацию расположения окон и сохраните ее: Desktop → Save Layout

Command Window.

Как уже говорилось выше Command Window – командное окно -самое используемое окно. Знак «>>» символизирует начало текущей строки. В этой строке можно набирать формулы или команды, удовлетворяющие синтаксису языка MATLAB. Если все составляющие (операнды) формулы известны, то после нажатия клавиши «Enter» MATLAB вычисляет значение выражения. Если в выражении указан операнд, значение которого неизвестно, MATLAB выдает сообщение об ошибке. В таблице 1 представлены основные горячие клавиши:

Таблица 1.
«Стрелка вверх»	Вызов предыдущей команды
«Стрелка вниз»	Вызов следующей команды
«Стрелка влево»	Перемещение курсора на 1 поз. влево
«Стрелка вправо»	- " - " - " - " - на 1 поз. вправо
«Ctrl - стрелка влево»	- " - " - " - " - на 1 слово влево
«Ctrl - стрелка вправо»	- " - " - " - " - на 1 слово вправо
«Home»	- " - " - " - " - в начало строки
«End»	- " - " - " - " - в конец строки
«Esc»	Отмена текущей команды
«Backspace»	Удаление символа слева
В режиме NumLock
«Ins»	Переключение между режимами вставки и замены
«Del»	Удаление текущего символа

 

Строка главного меню.

Меню Edit (Правка) содержит команды по вырезанию (Cut - вырезать), копированию (Copy - копировать), вставке (Paste - вставить), удалению (Delete - удалить) выделенных фрагментов текстов или графических объектов. Команда Select All (выделить все) выделяет весь текст командного окна, который можно копировать. Еще одна группа команд позволяет очистить соответствующие окна (Clear Command Window - очистить окно команд, Clear Command History - очистить окно истории команд, Clear Workspace - очистить переменные рабочего пространства). Строка главного меню работает для активного окна. Переключая окна, мы делаем какое-то из них активными.

Вычисления в МАТЛАБ.

Все операции в MATLAB реализуются посредством функций. Например, для выполнения операции сложения MATLAB вызывает стандартную функцию plus(), для выполнения операции вычитания - функцию minus(). При этом команды для вычисления выражений имеют вид, свойственный всем языкам программирования высокого уровня: «+», «−», «*», «/», «^», «sqrt», «nthroot», см. в help MATLAB раздел Arithmetic Operators, а также. Л.1 стр. 27.

 

Примеры. Вычислений в МАТЛАБ.

Операция сложение.

Наберите в командной строке 1+2 и нажмите <Enter>.

В результате в командном окне МАТЛАБ отображается следующее:

>> 1+2

ans =

>>

Что сделала программа МАТЛАБ?

Сначала она вычислила сумму 1+2, затем записала результат в специальную переменную ans и вывела ее значение, равное 3, в командное окно. Ниже ответа расположена командная строка с мигающим курсором, обозначающая, что МАТЛАБ готова к дальнейшим вычислениям. Можно набирать в командной строке новые выражения и находить их значения.

Если требуется продолжить работу с предыдущим выражением, например, вычислить (1+2)/4.5, то проще всего воспользоваться уже имеющимся результатом, который хранится в переменной ans.

Наберите в командной строке ans/4.5 (при вводе десятичных дробей используется точка) и нажмите <Enter>, получается:

>> ans/4.5

ans =

0.6667

 

В именах переменных можно использовать латинские буквы, цифры и символ подчеркивания; большие и малые буквы в именах различаются; имя должно начинаться с буквы; длина имени не должна превышать 63 символа.

>> s=1+2

s =

>> d= s/4.5

d =

0.6667

Замечание. Есть целый ряд системных числовых констант, которые нельзя портить, то есть использовать для обозначения переменных:

pi - число ;

realmax - наибольшее положительное число с плавающей запятой;

realmin - наименьшее положительное число с плавающей запятой;

eps - относительная погрешность при вычислениях с плавающей запятой

Пример. Точка с запятой.

Введите.

>> a=5, b=3; c=6; h1=(a+b)*c; h2=a-b+c

a = 5

h2 = 8

Мы не подавили вывод переменных а и h2. Для того чтобы узнать чему все же равна переменная h1, вызовем ее:

>> h1

h1 = 48

Пример. Переменные рабочего пространства.

>> whos a b h1 h2

Name Size Bytes Class Attributes

 

a 1x1 8 double

b 1x1 8 double

h1 1x1 8 double

h2 1x1 8 double

 

Name - имя переменой, Size - размерность, Bytes - количество занятых байтов, Class - класс объектов, представляющих соответствующий тип данных.

Команда whos без параметров выдает информацию обо всех переменных.

Если в дальнейших вычислениях переменная a, к примеру, не понадобится, ее можно убрать из рабочего пространства, набрав в командном окне clear a.

Команда clear без параметров удаляет все переменные.

 

Пример. Работа с алгебраическими выражениями, с символьными переменными.

Введите

>> clear all

>> f=(x+1)*(x-1)

??? Undefined function or variable 'x'.

МАТЛАБ выдал сообщение об ошибке.

Теперь введите

>> syms x

>> f=(x+1)*(x-1)

f =

(x - 1)*(x + 1)

МАТЛАБ вывел алгебраическое выражение.

Посмотрите в help команды-simplifications (упрощения): как делать различные преобразования в алгебраических выражениях. Введите

>> f=collect(f)

f =

x^2 - 1

Ответьте в отчете на вопрос, что сделала команда «collect» с выражением f?

Пример. Работа с алгебраическими выражениями. Подстановка чисел.

Теперь присвоим x какое-нибудь число:

>>x = 2

снова вызовем f

>> f

f =

(x+1)*(x-1)

ничего не изменилось, но если набрать заново алгебраическое выражение

f=(x+1)*(x-1) (можно просто выбрать данную команду при помощи стрелок)

>> f=(x+1)*(x-1)

f = 3

Мы получим значение функции f=3, при x = 2.

 

Пример. Упрощение алгебраических выражений.

При помощи различных команд simplifications (упрощения) записать различные формулы сокращенного умножения: разность квадратов; квадрат суммы, разности; куб суммы, разности; разность кубов, сумма кубов.

В качестве символьных переменных можно выбрать не только буквы, но и числа. Например, если нужно раскрыть скобки в выражении , то ввод

>> (sqrt(2)+sqrt(6))^2

ans =

14.9282

вычисляет значение выражения .

Теперь введем

>> a=sym(sqrt(6))

a =

6^(1/2)

>> b=sym(sqrt(2))

b =

2^(1/2)

>> (a+b)^2

ans =

(2^(1/2) + 6^(1/2))^2

 

>> w=simple(ans)

w =

4*3^(1/2) + 8

Теперь мы раскрыли скобки и привели подобные слагаемые и получили ответ в радикалах: .

А для того чтобы узнать его примерное значение введем

>> 4*3^(1/2) + 8

ans =

14.9282

 

Посмотрите через help функцию sym.

Команда sym позволяет вводить ограничения на свойства переменных:

Решим уравнение: .

>> clear all

solve('x^4-1=0')

ans =

-1

-i

i

 

Уравнение имеет действительные и комплексные корни.

Теперь введем ограничение на переменную: x – вещественное (действительное) число.

>> x = sym('x', 'real')

x =

x

>> solve('x^4-1=0')

ans =

-1

Выведены только вещественные значения корней уравнения.

 

Массивы в MATLAB.

Примеры. Задание матриц.

1. Для задания вектора - строки (т.е. матрицы размера ) используются квадратные скобки, в которых числовые данные отделяются друг от друга пробелами или запятыми:

>> str1 = [3 4 9 2]

str1 =

3 4 9 2

>> str2 = [5, 3, 3, 2]

str2 =

5 3 3 2

>>

2. Для задания вектор- столбца (т.е. матрицы размера ) используются квадратные скобки, в которых числовые данные отделяются друг от друга точкой с запятой:

>> st = [1.2; 5.3; 6.4]

a =

1.2000

5.3000

6.4000

>>

3. Комбинируя оба варианта разделителя, можно задать матрицу, число строк и столбцов которой больше одного (двумерный массив):

>> A=[1 2 3 4;0 -1 -3 -2]

A =

1 2 3 4

0 -1 -3 -2

4. Любое число рассматривается в MATLAB как матрица размера .

>> n=3

n = 3

>> m=[3]

m = 3

5. Снова просмотрите каждую переменную в окне Workspace.

>> whos str1 str2 st A n m

Name Size Bytes Class Attributes

A 2x4 64 double

m 1x1 8 double

n 1x1 8 double

st 3x1 24 double

str1 1x4 32 double

str2 1x4 32 double

6. Узнайте n-мерность (измерение) и размерность переменных str1, str2, st, A, n, m, при помощи встроенных функций ndims и size, сделайте выводы:

>> ndims(A)

ans =

>> size(A)

ans =

2 4

Матрица A хранится в двумерном (ndims(A)) массиве размерностью (size(A)) 3х1 (три на один): вектор-столбец A состоит из трех строк и одного столбца.

Упражнение 3.

Проделайте аналогичные операции для остальных переменных str1, str2, st, n, m,. Сделайте выводы.

 

Итак, важно понять, что число, вектор-строка, вектор-столбец или матрица являются математическими объектами, которые представляются двумерными массивами.

N-мерные массивы данных

Приведем примеры массивов другой размерности.

Примеры. N-мерные массивы

Команда rand(k,l,n,m) позволяет создавать матрицу с произвольными числами (от 0 до 1) размерности k x l (k строк, l столбцов), n, m - добавляют единицы измерения, например

>> E1=rand(1,4) %создаем матрицу размерности 1x4

E1 = 0.7922 0.9595 0.6557 0.0357

>> ndims(E1) % увидим, что E1 - двумерный массив

ans =

>> E2=rand(size(st)) %создаем матрицу той же размерности, что и st, 3x1

E2 =

0.9340

0.6787

0.7577

>> ndims(E2) % убедимся: E2 - двумерный массив

ans = 2

Заметим следующее:

>> n1=size(E1)

n1 = 1 4

>> size(n1) % это тоже, что и size(size(E1))

ans =

1 2

>> length(n1)

ans = 2

>> length(size(E1))

ans =

>> ndims(E1)

ans =

length() – возвращает наибольшее из чисел размерности-size массива

То есть

ndims(E1)=length(size(E1))

 

Проверьте этот факт для остальных переменных рабочего пространства.
Посмотрим, как это работает для массивов размерности 3 и 4.

>> E3=rand(3,2,2) % создадим трехмерный массив

E3(:,:,1) =

0.0046 0.8687

0.7749 0.0844

0.8173 0.3998

E3(:,:,2) =

0.2599 0.9106

0.8001 0.1818

0.4314 0.2638

Образно говоря, мы получили «многоэтажный дом». Теперь, чтобы обратиться к элементам трехмерного массива, нужно задать номера строки, столбца и «этажа». В данном массиве два этажа, «в каждом этаже» по три строки и по два столбца.

>> ndims(E3)

ans = 3

E3(:,:,1) – выводит первую матрицу 3х2, E3(:,:,2) –выводит вторую матрицу 3х2

Роль символа двоеточия «:» интуитивно понятен, позже будет объяснение и плотная работа с этим символом.

>> E4=rand(1,2,3,2) %создадим четырехмерный массив

E4(:,:,1,1) = 0.3692 0.1112

E4(:,:,2,1) = 0.7803 0.3897

E4(:,:,3,1) = 0.2417 0.4039

E4(:,:,1,2) = 0.0965 0.1320

E4(:,:,2,2) = 0.9421 0.9561

E4(:,:,3,2) = 0.5752 0.0598

Мы получили «улицу» из «одинаково этажных домов». Теперь, чтобы обратиться к элементам четырехмерного массива, нужно задать номера строки, столбца, «этажа» и «номер дома». В данном массиве два дома, по три этажа в каждом, на каждом «этаже» одна строка и три столбца.

E4(:,:,3,1) - выводит третий массив первого уровня, E4(:,:,2,2) – выводит второй массив второго уровня.

>> ndims(E4)

ans = 4

И мы снова видим: ndims(A)=length(size(A))

>> n3=size(E3)

n3 = 3 2 2

>> length(n3)

ans =

>> n4=size(E4)

n4 = 3 2 2 2

>> length(n4)

ans = 4

 

 

Итак, все данные в MATLAB представляются в виде массивов. Очень важно правильно понять, как устроены массивы. Без этого невозможна эффективная работа в MATLAB, в частности построение графиков, решение задач линейной алгебры, обработки данных, статистики и многих других.

Массив - упорядоченная, пронумерованная совокупность однородных данных. У массива должно быть имя. Массивы различаются по числу размерностей или измерений. Доступ к элементам осуществляется при помощи индекса.

Еще раз: число, вектор-строка, вектор-столбец или матрица являются математическими объектами, массивы - способы хранения этих объектов в компьютере. Всюду дальше чаще будут использоваться слова «вектор» и «матрица», так как для нас больший интерес представляет сам объект, чем способ его хранения. Слово «массив» будет использоваться и для вектора, и для матрицы, когда их различие будет несущественным.

 

 

3. Различные способы задания массивов.

Матрицы

Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m = n называется размером квадратной матрицы или её порядком.

 

Примеры. Задание матрицы в MATLAB:

Основной способ: с помощью оператора квадратные скобки: [ ]

>> A = [1 3; 2 4]

A =

1 3

2 4

>> B = [1:3;4:6;7:9]

B =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> C = [B(1:2,:); A(1:3)]

C =

1 2 3

4 5 6

1 2 3

Особые матрицы:

Матрица из единиц: ones(…)

Матрица из нулей: zeros(…)

Единичная матрица: eye(…) – на главной диагонали стоят единицы, на остальных местах нули.

 

 

>> eye(2,2)

ans =

1 0

0 1

>> eye(2,3)

ans =

1 0 0

0 1 0

>> eye(3,2)

ans =

1 0

0 1

0 0

>> eye(3)

ans =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

Векторы

Матрица из одной строки называется вектор-строкой, из одного столбца – вектор-столбцом, такие матрицы мы будем называть просто векторами.

 

Упражнение 4.. Различные способы задания векторов.

1) Задать вектор-строку с помощью

a) ввода чисел c пробелами;

b) ввода чисел с запятыми;

c) стандартной функцией horzcat(,,,)

d) двоеточия «:» с шагом можно задать те же числа от 1 до 6 с шагом 1

2)Задать вектор- столбец с помощью

a) точки запятой «;»;

b) транспонировав вектор-строку, с помощью символа «'» -одинарная кавычка (буква э в латинском регистре)

с) стандартной функцией vertcat(,,,)

d) двоеточия «:» с шагом и транспонирования «'».

Сцепление векторов.

1. Из нескольких вектор-столбцов можно составить один, используя квадратные скобки и разделяя исходные вектор-столбцы точкой с запятой:

>> v1 = [1; 2]; v2 = [3; 4; 5]; v = [v1; v2]

v =

>>

2. Для сцепления вектор-строк также применяются квадратные скобки, но сцепляемые вектор-строки отделяются пробелами или запятыми:

>> w1 = [1 2]; w2 = [3 4 5]; w = [w1 w2]

w =

1 2 3 4 5

 

Операции над векторами

Упражнение 5.

1. Вычислите сумму массивов и , запишите результат в массив с1, и выведите все векторы в командное окно.

a = [1.2; 5.3; 6.4]; b = [7.83; 8.72; 9.61];

2. Найдите разность b и a, результат запишите в c2 и выведите его в командное окно.

Поэлементное умножение (операция «.*») и поэлементное возведение в степень (операция «.^»).

1. Операторам «*» и «.*» соответствуют встроенные в MATLAB в ядро функции mtimes() и times(). Первая функция выполняет матричное умножение входных параметров, а вторая их поэлементное умножение. При умножении вектора на скаляр обе функции вернут одинаковый результат. К матричному умножению мы обратимся в последующих модулях.

Операция «.*» (не вставляйте пробел между точкой и звездочкой!) приводит к поэлементному умножению векторов одинаковой длины. В результате получается вектор с элементами, равными произведению соответствующих элементов исходных векторов:

Введем две вектор–строки и перемножим их:

>> u1=[2 -3 4 1]; u2 = [7 5 -6 9];u=u1.*u2

u = 14 -15 -24 9

Проверьте, использование оператора «*» приведет к сообщению об ошибке.

2. При помощи «.^» осуществляется поэлементное возведение в степень:

>> p=u1.^2

p = 4 9 16 1

Проверьте, использование оператора «^» приведет к сообщению об ошибке.

 

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы A на число λ заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число λ.

Сложение матриц

Сложение матриц A и B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B.

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая матрица состоит из комплексно сопряженных чисел.

Транспонирование матрицы

При транспонировании матрицы строки становятся столбцами.

Эрмитово сопряжение – комплексное сопряжение и транспонирование:

Для матрицы, заданной действительными числами, не комплексными!, операция сопряжения и транспонирования совпадают)

 

 

>> A=[2,1]

A =

2 1

>> A.'

ans =

>> A'

ans =

>> A=[1-i*2,1]

A =

1.0000 - 2.0000i 1.0000

>> A' % 'эрмитово сопряжение, превратит строку в столбец и "сопряжет" комплексное число

ans =

1.0000 + 2.0000i

1.0000

>> B=[1-i*2 1-i*3;1+i*4,1+i*5;2,3]

B =

1.0000 - 2.0000i 1.0000 - 3.0000i

1.0000 + 4.0000i 1.0000 + 5.0000i

2.0000 3.0000

>> B.'

ans =

1.0000 - 2.0000i 1.0000 + 4.0000i 2.0000

1.0000 - 3.0000i 1.0000 + 5.0000i 3.0000

>> B'

ans =

1.0000 + 2.0000i 1.0000 - 4.0000i 2.0000

1.0000 + 3.0000i 1.0000 - 5.0000i 3.0000

Умножение матриц

Умножение матриц A и B – есть операция вычисления матрицы C=AB, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность m x n, матрица B имеет размерность n x p, то размерность их произведения, матрицы C=AB, будет m x p.

Операция матричного умножения «*» двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована.

В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя - квадратные матрицы одного и того же порядка.

Следует заметить, что из существования произведения AB вовсе не следует существование произведения BA.

 

Упражнение 6. Выполнить в тетради + MATLAB.

Для матриц , , c=2, D1=ones(2,3), D2=ones(3,2),E1=eye(2,3), E2=eye(3,2), E3=eye(3), (ввести символьно соответствующие элементы: syms a11 a12 итд.), осуществить операции:

A' % эрмитово сопряжение

A.' % транспонирование

B' % эрмитово сопряжение

B.' % транспонирование

% умножение на число:

A1 = 2*A, A2=A*3, A3=4.*A, A4=A*.5

% сложение матриц:

C1 = A+B, C2=A+D2, C3=B+D1, C4=A+E2, C5=B+C1

%умножение матриц:

% что меняет умножение квадратной матрицы на единичную E?

F1 = A*B, F2=B*A, F3=B' *A'б F4=E2*B, F5=A*E1, F=F1*F1*F1 F6=F1*E3, F7=E3*F1

% поэлементное умножение матриц:

C = A.*D2

% возведение матрицы А в степень, (то же что и B=A*A, выполнимо только для квадратных матриц)

A^2 % невыполнимо

F1^2 % выполнимо

A.^2 % возведение каждого элемента матрицы А в степень

 

Упражнение 7.

1) Проверить на примерах 10 свойств операций над матрицами

2) Ввести матрицы

, , , , , , .

2) Выполнить операции (или убедиться, что их выполнить нельзя):

, , , , , , , , , , , , , , , ,

 

Примеры.

1. Доступ к элементам вектор–столбца или вектор–строки осуществляется при помощи индекса, заключаемого в круглые скобки после имени массива, в котором хранится вектор. Если среди переменных рабочей среды есть массив v, определенный вектор–строкой

>> v = [1.3 3.6 7.4 8.2 0.9];

то для вывода, например его четвертого элемента, используется индексация:

>> v(4)

ans = 8.2000

2. Появление элемента массива в левой части оператора присваивания приводит к изменению в массиве

>> v(2)=-55

v =

1.3000 -55.0000 7.4000 8.2000 0.9000

3. Из элементов массива можно формировать новые массивы, например

>> u = [v(3); v(2); v(1)]

u =

7.4000

-55.0000

1.3000

4. Для помещения определенных элементов одного вектора в другой вектор в заданном порядке служит индексация при помощи вектора. Запись в массив w четвертого, второго и пятого элементов v производится следующим образом:

>> w=v([4,2,5])

w =

8.2000 -55.0000 0.9000

>> w=v([3,1,3,1,1])

w =

7.4000 1.3000 7.4000 1.3000 1.3000

>> v=v'

v =

1.3000

-55.0000

7.4000

8.2000

0.9000

>> w=v([3,1,3])

w =

7.4000

1.3000

7.4000

5. MATLAB предоставляет удобный способ обращения к блокам последовательно расположенных элементов вектора.

Для этого служит индексация при помощи знака двоеточия.

Предположим, что в массиве w, соответствующем вектор–строке из семи элементов, требуется заменить нулями элементы со второго по шестой. Индексация при помощи двоеточия позволяет просто и наглядно решить поставленную задачу:

>> w = [0.1 2.9 3.3 5.1 2.6 7.1 9.8];

>> w(2:5) = 0;

>> w

w =

0.1000 0 0 0 0 7.1000 9.8000

Присваивание w(2:5) = 0 эквивалентно последовательности команд
w(2) = 0; w(3)=0; w(4)=0; w(5)=0.

Можем изменять элементы через определенный шаг:

>> w(1:2:7) = -1;

>> w

w =

-1.0000 0 -1.0000 0 -1.0000 7.1000 -1.0000

 

6. Индексация при помощи двоеточия оказывается удобной при выделении части из большого объема данных в новый массив:

>> w = [0.1 2.9 3.3 5.1 2.6 7.1 9.8];

>> w1=w(1:2:7)

w1 =

0.1000 3.3000 2.6000 9.8000

Упражнение 8.

Составьте массив w2, содержащий элементы w кроме четвертого. В этом случае удобно использовать двоеточие и сцепление строк:

 

8. Элементы массива могут входить в выражения. Нахождение, например среднего геометрического из элементов массива u, можно выполнить следующим образом:

>> gm = (u(l)*u(2)*u(3))^(l/3)

Данная запись равносильна выражению

gm = 17.4779

Число (1/3) необходимо взять в скобки,

иначе мы получим выражение ,

Команда

>> gm = (u(1)*u(2)*u(3))^1/3

дает совсем другой ответ:

gm = 1.7797e+003

 

 

Упражнение 9.

Создать с помощью специальных символов

вектор–строку и вектор–столбец . Изменить значение второй координаты вектора на -5, значение третьей координаты вектора - на сумму первой и второй координаты вектора

 

Примеры.

Для доступа к отдельным элементам матриц указываются их индексы:

1. Например, А(1,3) - элемент матрицы А, стоящий в 1-й строке и 3-м столбце

А(2,1) - элемент матрицы А, стоящий во 2-й строке и 1-м столбце

>> A

A =

1 2 3 4

0 -1 -3 -2

>> A(1,3)

ans =

>> A(2,1)

ans = 0

2. Элементы матрицы A можно вызвать иначе

>> A(5)

ans =

>> A(2)

ans =

 

 

А(1,3) - пятый элемент матрицы А, А(2,1) - второй элемент матрицы А. МАТЛАБ «считает» элементы матрицы сверху вниз по столбцам:

 

Таблица 4.
A(1,1)=A(1)	A(1,2)=A(3)	A(1,3)=A(5)	A(1,4)=A(7)
A(2,1)=A(2)	A(2,2)=A(4)	A(2,3)=A(6)	A(2,4)=A(8)

 

Список рекомендуемой литературы

1. А. Кривелёв. Основы компьютерной математики с использованием системы MatLab. М, 2005.

2. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Аналитическая геометрия. М.,Наука,2001, Шифр - 514.12(075.8) И-46.

3. Ржавинская Е.В., Соколова Т.В., Олейник Т.А. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, М.,МИЭТ. 2007.

4. Сборник задач по математике для втузов под редакцией А.В.Ефимова, А.С.Поспелова. В 4 частях. Часть 1.(4-е изд. перераб. и доп.)2001, 2004.

 

Порядок выполнения.

1. Упражнения выполняются параллельно с изучением теоретического материала из параллельного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», см. приложения, лекции и другую литературу.

2. Большинство упражнений необходимо предварительно решать в тетради.

3. При выполнении упражнений в случае появления сообщения об ошибке рекомендуется сначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху, - проконсультироваться с преподавателем.

4. Дома доделать примеры и упражнения, которые Вы не успели выполнить во время занятия; выполнить дополнительные упражнения для самостоятельной работы и ответить на контрольные вопросы.

5. Подготовить отчёт, в который включить результаты по упражнениям и развернутые ответы на контрольные вопросы. Отчёт представить
в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): «мп_17_Иванов_Павел_лаб_1_1» (факультет_группа_Фамилия студента_Имя студента_номер лабораторной). По каждому выполненному упражнению отчет должен содержать:

· № упражнения; текст упражнения;

· команды, скопированные из командного окна, с комментариями к ним

· результаты их выполнения, включая построенные графики;

· выводы и комментарии к полученным результатам.

*Без предъявления письменных решений электронный отчет не рассматривается. **При проверке решений и отчета у преподавателя не должно возникать необходимости обращаться к источнику задания.

Работа с системой MATLAB.

Работа с окнами системы MATLAB.

MATLAB (MATrix LABoratory) - интерактивный матрично- ориентированный пакет, предназначенный для выполнения научных и инженерных расчетов.

После запуска пакета появляется рабочий стол (Desktop), состоящий из строки заголовка, строки главного меню, панели инструментов и комбинированного окна.

Горячие клавиши переключения между окнами Ctrl+F6 или на панели задач нажатием правой кнопкой мыши выберете удобный для вас режим работы с окнами, например, режим «окна сверху вниз», тогда вы будете видеть сразу оба документа.

Комбинированное окно (Desktop) включает четыре панели:

Command Window (Окно команд) - самое используемое окно. В нем набирают команды пользователя, подлежащие немедленному исполнению. Здесь же выдаются результаты выполненных команд.

 

Command History (История команд) хранит все команды, набираемые пользователем, однако в отличие от содержимого Command Window (Окно команд) сюда не попадают сообщения системы и результаты вычислений.

 

Workspace (Рабочее пространство) отображает текущий набор переменных, заведенных пользователем в командном окне.

Current Directory (Текущий каталог) является аналогом известной программы Проводник, но имеет для MATLAB свое особое предназначение. Дело в том, что, кроме работы с математическими выражениями из командного окна, пользователь также может работать с файлами.

 

Переключение между окнами MATLAB реализуется с помощью щелчка левой кнопки мыши в области соответствующего окна или на одной из вкладок, если нужное окно полностью закрыто другим окном. Конфигурацию окон на экране можно менять, используя вертикальные и горизонтальные разделители. Можно изменять размер окон в пределах рабочего стола, перемещать окна по экрану с помощью перетаскивания строки заголовка соответствующего окна, закрывать их (крестик) и отделять от рабочего стола (стрелочка). Чтобы в точности восстановить исходную конфигурацию нужно пройти путь: Desktop (команда Рабочий стол в строке главного меню) → Desktop Layout (разметка рабочего стола) → Default (по умолчанию). Для сохранения собственной конфигурации выберите Save Layout.