Основы математической статистики

 

Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов на­блюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Предметом математической статистики является изучение случай­ных величин (или случайных событий, процессов) по результатам на­блюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимен­та) данные сначала надо обработать:

1) упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде.

2)оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величи­ны. Например, дать оценку неизвестной вероятности события, оценку математического ожида­ния, оценку дисперсии случайной величины, оценку параметров рас­пределения, вид которого неизвестен, и т.д.

3)провер­ка статистических гипотез, то есть решение вопроса согласования ре­зультатов оценивания с опытными данными. Например, выдвигается гипотеза, что наблюдаемая случайная величина подчиняется нормальному закону или случайное событие обладает данной вероятностью.

Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов, позволяющих по результатам обследования вы­борки (т. е. части исследуемой совокупности объектов) делать обосно­ванные выводы о распределении признака изучаемых объектов по всей совокупности.

Для обработки статистических данных созданы специальные про­граммные пакеты (STADIA, SYSTAT, STAT-GRAPHICS и др.). Простейшие статистические функции имеются в программируемых калькуляторах и офисных программах (EXCEL).

Результаты исследования статистических данных методами мате­матической статистики используются для принятия решения, т.е. для научных и практических выводов.

1. Генеральная совокупность и выборка. Пусть требуется изу­чить множество однородных объектов относительно некоторого качест­венного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количествен­ным — контролируемый размер детали.

Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокуп­ности выбирают для изучения часть объектов.

Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью (случайной величиной X). Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности (), называется выборкой.

Число объектов генеральной совокупности и выборки называ­ется соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки. Все объекты генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попасть в выборку, т. е. выбор должен производится случайно.

Пример. Плоды одного дерева (200 шт.) обследуют на на­личие специфического для данного сорта вкуса. Для этого отби­рают 10 шт. Здесь 200 — объем генеральной совокупности, а 10 — объем выборки.

 

2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограм­ма.

Рассмотрим эксперимент, описание которого строится при помощи случайной величины X. Это означает, что однократный эксперимент дает нам возможность определить одно из возможных значений случайной величины X. Пусть в результате экспериментов получен набор значений случайной величины X: , ,... . То есть, из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось раз, — раз, — раз и — объем выборки. Наблюдаемые значения , ,... называются вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа наблюде­ний называют частотами, а их отношения к объему выборки относительными частота­ми:

Отметим, что сумма относительных частот равна единице:

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде после­довательности интервалов и соответствующих им частот (непрерыв­ное распределение). В качестве частоты, соответствующей интерва­лу, принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал.

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.

Для построения полигона на оси Ох откладывают значения ва­риант , на оси Оу — значения частот (относительных час­тот ). Точки соединяем ломаной.

ni

x i

n3

n4

n2

x 1

x 2

x 3

x 4

n1

 

 

Полигоном обычно пользуются в случае небольшого количества вариант. В случае большого количества вариант и в случае непре­рывного распределения признака чаще строят гистограммы. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала — сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Затем на этих интервалах как на основаниях строят прямоугольники с высотами (плотность частоты). Площадь i -го частичного прямоугольника равна . Следовательно, площадь гистограммы равна сумме всех частот, т. е. объему выборки (или единице).

 

Пример. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема :

 

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
i
	1-5 5-9 9-13 13-17 17-21		2,5 12,5

 

>

ni /h

x

2,51

12,5