Тема: моделювання кола постійного та синусоідального струму засобами Matlab

Мета: Отримати практичні навички моделювання кіл постійного та синусоїдального струму засобами Matlab

 

Для схеми розробити алгоритм і скласти про­граму що передбачає:

• Розрахунок струмів у гілках методом контурних токів

• Перевірку балансу потужностей.

• Побудування потенційної діаграми для будь-якого замкненого контуру, що включає джерело ЕРС.

Зробити перевірочний розрахунок:

• Промоделювати процеси в електричній схемі в середовищі Simulink (бібліотека PowerSystemBlockset).

Систему лінійних рівнянь з невідомими струмами, розв'язати методом Крамера. Для цього створити уні­версальну власну функцію за відповідним алгоритмом.

 

r1, Ом	r2, Ом	r3, Ом	r4, Ом	r5, Ом	r6, Ом	r7, Ом	E2, В	J1, A
8	14	20	12	40	12	6	10	3

Струм контуру помножується на суму опорів контуру, потім опір, який належить двом контурам помножується на струм контуру, сполученого з даним контуром і знак визначається за напрямком контурних струмів.

I_I(r₁+r₅+r₆+r₇)-I_IIr₅-I_III(r₆+r₇)=-J₁(r₅+r₆+r₇)

-I_Ir₅+I_II(r₂+r₄+r₅)-I_IIIr₂=E₂+J₁r₅

-I_I(r₆+r₇)-I_IIr₂+I_III(r₂+r₃+r₆+r₇)=-E₂+J₁(r₅+r₆+r₇)

Якщо в контурі присутня ЕРС вона записується в правій частині рівняння як за 2-им законом Кірхгофа. Гілка з джерелом струму виділяється як гілка зв’язку. Ця гілка входить тільки до одного контуру і його контурний струм дорівнює струму джерела струму. Для цього контуру складати рівняння не треба, але для інших контурів цей струм треба враховувати.Потім струми в гілках електричної схеми обчислюються за допомогою обчислених контурних струмів.

I₁=І_І I₂=I_II-I_IIII₅=I_IІ-I_I-J₁

I₄=I_ІІI₃=I_IIII₆=I₂-I₅

Перевірка балансу потужностей

Перевірка балансу потужностей необхідна для перевірки результатів обчислення струмів гілок електричної схеми. Для роботи схеми у нормальному режимі, необхідно щоб потужність, яка генерується джерелами живлення схеми, дорівнювала потужності споживачем.

де Е – ЕРС

I_k– струм джерела струму;

U_k – напруга на джерелі струму;

І – струми гілок;

R – відповідні опори гілок;

Баланс потужностей не повинен перевищувати 5 %.

В нашому випадку:

Побудування потенціальної діаграми для контуру, який має ЕРС

Потенціальна діаграма є однією з перевірок струмів у схемі. При обходу якого-небудь замкненого контуру потенціал вузла, з якого починається обхід, приймаємо рівним нулю, і якщо після закінчення обходу останній потенціал (тобто потенціал з якого починали обхід) дорівнює нулю, то струми в контурі розраховані правильно.

Для побудови потенціальної діаграми φ(R) треба розрахувати вектор потенціалів і відповідний до нього вектор опорів.

v=[0 I(4)*R(4) I(2)*R(2)-E(2)+I(4)*R(4)I(5)*R(5)-E(2)+I(2)*R(2)+I(4)*R(4)]

r0=[0 R(4)R(4)+R(2)R(4)+R(2)+R(5)]

Для обчислення струмів та напруг у електричних колах матричним методом спершу необхідно визначити наступні параметри:

q – кількість вузлів у схемі;

m=q-1 – кількість незалежних вузлів;

р – кількість гілок з невідомими струмами;

n=p-m– кількість незалежних контурів.

Після цього складаємо матриці незалежних контурів Gрозміром (p*n), з’єднань Dрозміром (m*p), а також вектори ЕРС Е розміром (р*1), джерел струму Jk розміром (т*1), квадратну діагональну матрицю опорів Z розміром (р*р). Елементи матриць G і D утворюються згідно з формулами:

Gij=1, коли напрям і –ої гілки співпадає з напрямом j –огоконтура; -1, навпаки; 0, коли гілка і не належить контуру j.

Dij=1, коли напрям j- оїгілки до вузла і; -1, навпаки; 0, коли гілка j не підходе до вузла і.

А= [D; G’*Z]; B= [-Jk; G’*E], отримаємо систему лінійних рівнянь А*І=В, яку можна вирішити любим з відомих методів.

; ; ;

Рішення лінійних рівнянь методом Крамера

Суть методу зручно зрозуміти на прикладі рішення системи двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими.

або у векторній формі АХ=В

де А= , В=

Нехай відомо, що визначник матриці А не є нульовим. тобто detA≠0. Якщо кожне з рівнянь системи помножити відповідно на алгебраїчні доповнення ad11 iad21 потім отримані рівняння скласти, то для першого рядка отримаємо:

(a11*ad11+a21*ad21)*x1+(a12*ad11+a22*ad21)*x2=b1*ad11+b2*ad21.

За правилами математики:

a11=ad22

a22=ad11

-a12=ad21

-a21=ad12

Тому після підстановки одержимо:

(a11*a22-a12*a21)*x1+(a12*a22-a22*a12)*x2=b1*a22-b2*a12.

a11*a22-a12*a21=detA

(a12*a22-a22*a12)*x2=0

b1*a22-b2*a12= =detB1 то: detA*x1=detB1

звідки

x1=

Аналогічно можна отримати формулу обчислення х₂ з другого рядка.

Наведені положення та формули дійсні для матриць любого розміру. Якщо визначник основної матриці А систем n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю (detA≠0),то така система має єдине рішення, яке визначаеться за формулою

xі= , де і=1,2,3…,n.

Наприклад B1= .

Матриця Ві формується шляхом заміни і-го стовпця матриці А на стовпець В.

Блок-схема обчислення визначника матриці А

Блок-схема алгоритму методу Крамера

 

ПРОГРАМА ОБЧИСЛЕНЬ

Матричний метод

clc

closeall

%Матричный метод

E2=10;ik=3

G=[1 0 0;

0 1 -1;

0 0 1;

0 1 0;

-1 1 0;

1 0 -1]

D=[0 -1 0 0 1 1;

1 0 -1 0 0 -1;

0 1 1 -1 0 0]

E=[0

0]

J=[0

0]

R=[8 14 20 12 40 18]

Z=diag(R);

A=[D;G'*Z];

B=[-J;G'*E];

I=A\B

bI=D*I+J;

bU=G'*Z*I-G'*E;

методконтурних струмів

clc

closeall

r1=8;r2=14;r3=20;r4=12;r5=40;r6=12;r7=6;ik=3;E=10;

A=[r1+r5+r6+r7 -r5 -(r6+r7);-r5 r2+r4+r5 -r2;-(r6+r7) -r2 r2+r3+r6+r7]

B=[-ik*(r6+r7+r5);E+ik*r5;ik*(r6+r7)-E]

%Метод Крамера

dA=det(A)

for j=1:3

Aj=A; Aj(:,j)=B;

d(j)=det(Aj);

end

i=d/dA

i1=i(1)

i4=i(2)

i3=i(3)

i5=i4-i1-ik

i2=i4-i3

i6=i2-i5

Перевiрка балансу потужностей

Pist=abs(i2)*E+ik*abs(i1)*r1

Ppotr=i1^2*r1+i2^2*r2+i3^2*r3+i4^2*r4+i5^2*r5+i6^2*(r6+r7)

dP=abs((Pist-Ppotr)/Pist)*100

Побудування потенційної діаграми

v=[0I(4)*R(4) I(2)*R(2)+I(4)*R(4)-E2I(2)*R(2)+I(5)*R(5)+I(4)*R(4)-E2];

Ro=[0 R(4) R(4)+R(2) R(4)+R(5)+R(2)];

plot(Ro,v,'r')

grid

 

 

Функцiя для метода Крамера

functionx=kramer(a,b)

[m,n]=size(a);

z=opr(n,a);

for j=1:m

buf=a;

fori=1:m

buf(i,j)=b(i);

end

opr_(j)=opr(n,buf);

end

fori=1:m

x(i)=opr_(i)/z;

end

Функцiя для обисленнявизначникаматрицi

functionD=opr(n,a)

sum=0;

if n>2

fori=1:n

i1=1;

for j=2:n

j1=1;

for k=1:n

if k~=i

aa(i1,j1)=a(j,k);

j1=j1+1;

end

end

i1=i1+1;

end

p=opr(n-1,aa);

sum=sum+(-1)^(i+1)*a(1,i)*p;

end

D=sum;

else D=a(1,1)*a(2,2)-a(1,2)*a(2,1);

end

 

моделюванняелектричноі схеми в середовищі Simulink

Рисунок 5.1- Схема зібрана за допомогоюбібліотеки PowerSystemsBlockset у Simulink, пакету MatLab.

РЕЗУЛЬТАТИ ОБЧИСЛЕНЬ

Методконтурних струмів

A =

66 -40 -18

-40 66 -14

-18 -14 52

B =

-174

i1 =

-2.0600

i4 =

0.7948

i3 =

0.3471

i5 =

-0.1452

i2 =

0.4478

i6 =

0.5929

Перевiркабалансупотужностi

Ppotr =

53.9171

Pist =

53.9171

dP =

1.3178e-014

Матричний метод

G =

1 0 0

0 1 -1

0 0 1

0 1 0

-1 1 0

1 0 -1

 

D =

0 -1 0 0 1 1

1 0 -1 0 0 -1

0 1 1 -1 0 0

E =

J =

R =

8 14 20 12 40 18

I =

-2.0600

0.4478

0.3471

0.7948

-0.1452

0.5929

 

 

Simulink

 

 

Результати отримані у Simulink

 

 

Потенційна діаграма

Потенціальна діаграма для контуру з джерелом ЕРС

Аналіз результатів

Метод контурних струмів (метод Крамера)
Результати роботипрограми	Результати матричного розрахунку	Результати роботи у Simulink
-2.0600	-2.0600	-2.06
0.4478	0.4478	0.4478
0.3471	0.3471	0.3471
0.7948	0.7948	0.7948
-0.1452	-0.1452	-0.1452
0.5929	0.5929	0.5929

 

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №14