Закони радіоактивного розпаду

 

Самочинний розпад радіоактивних ядер протікає за законом, згідно з яким число ядер , які розпадаються за нескінченно малий проміжок часу , пропорційно числу ядер , наявних на момент часу :

 

, (1.8)

 

де - постійна розпаду, розмірність якої обернена розмірності часу, характеризує сталість ядра.

 

Число ядер , які залишилися від початкової кількості через проміжок часу , знаходять інтегруванням рівняння (1.8). Так як в момент , рішення має вигляд

 

. (1.9)

 

Радіоактивний розпад - явище випадкове, і час життя кожного окремого ядра не можна буде заздалегідь визначити. Середня тривалість життя ядер визначається як

 

. (1.10)

 

Для характеристики стійкості радіоактивного ізотопу на практиці частіше за все використовують період піврозпаду (надалі позначатиметься літерою ).

Зв’язок між періодом піврозпаду і постійною розпаду виводять з рівняння (1.9)

 

,

звідси

. (1.11)

 

Деякі радіоактивні ядра, які зазнають ряд послідовних перетворень, утворюють ланцюжки радіоактивних ізотопів (див. додатки А, Б, В).

В загальному вигляді кількість ядер будь-якого радіоактивного ізотопу в зазначений час можна знайти, якщо відоме число ядер, які утворюються за одиницю часу з материнської речовини.

Диференціальне рівняння для накопичення радіоактивного ізотопу буде

 

, (1.12)

 

де - швидкість утворення ізотопу;

- швидкість розпаду ізотопу.

 

Загальне рішення лінійного диференціального рівняння (1.12) має вигляд

. (1.13)

 

При наявності двох радіоактивних ізотопів можливі три наступні випадки:

1) (після повного розпаду вихідного елементу залишається лише продукт його розпаду);

2)

. (1.14)

 

(Становище, яке характеризується цим співвідношенням, називається рухомою радіоактивною рівновагою);

3)

. (1.15)

 

(Випадок сталої або вікової рівноваги).

 

Для ряду, який складається з ланок, залежність кількості -го продукта розпаду в часі визначається формулою

 

, (1.16)

де

,

 

і так далі.

Якщо між радіоактивними ізотопами в ряді розпаду знаходиться короткоживучий ізотоп, то можна для розрахунку вважати, що третій ізотоп утворюється безпосередньо з першого. В такому випадку вираз (1.16) набуває вигляду

. (1.17)

Якщо між довгоживучим радіоактивним ізотопом і його короткоживучим ізотопом знаходиться проміжний радіоактивний ізотоп більш тривалого часу життя, то розрахунок можна зробити за такою формулою

 

. (1.18)

 

Визначення періоду піврозпаду є один з методів фізичної ідентифікації радіоактивних ізотопів. Значення періоду піврозпаду, величина якого змінюється від декількох секунд до декількох років, найчастіше визначають шляхом послідовних вимірювань активності препарату через певні проміжки часу. Вимірювання проводять впродовж часу, не менше одного періоду піврозпаду.

Період піврозпаду визначається з співвідношення

 

, (1.19)

 

де - активність (швидкість розпаду, іонізаційний струм), яка реєструється в початковий момент часу;

- активність, яка реєструється в момент часу .

Період піврозпаду може бути легко визначений графічно, тому що (1.9) в напівлогарифмічному масштабі зображається прямою лінією з кутовим коефіцієнтом . Для визначення необхідно знайти на такому графіку відрізок по вісі абсцис, на якому активність, що реєструється, зменшиться вдвічі (рис.1.3).

 

 

 

 

 

 

t

T

Рисунок 1.3 – Графік розподілу у напівлогарифмічному масштабі

Період піврозпаду довгоживучих радіоактивних ізотопів ( і ін.) не може бути визначений за вимірюванням активності в часі, швидкість розпаду таких ізотопів практично стала і пропорційна константі розпаду

 

. (1.20)

 

Тут - число ядер зазначеного ізотопу в дослідному взірці, яке визначається за формулою

 

, (1.21)

 

де - частка вмісту дослідного ізотопу в природній суміші. Так, наприклад, в природній суміші ізотопів вміст радіоактивного ізотопу дорівнює 0,011 %), тобто

0,00011;

- вага радіоактивного ізотопу в препараті;

- число Авогадро ();

- масове число ізотопу.

 

Відповідно до закону радіоактивного розпаду кількість розпадів, які відбуваються за одиницю часу, при наявності ядер радіоактивної речовини, може бути визначена як

 

. (1.22)

 

Якщо за один розпад випромінюється частинок, то загальна кількість частинок, яка випромінюються препаратом за одиницю часу

. (1.23)

 

У випадку розрахунку кількості частинок, які випромінюються радіоізотопом, який входить в радіоактивний ряд, можна користуватися наступним виразом

 

, (1.24)

 

де - вихід частинок i -го елементу ряда на один розпад;

- постійна розпаду i -го елементу;

- кількість ядер i -го елементу.

Якщо продукти розпаду знаходяться в рівновазі, то формула (1.24) набуває вигляду

 

, (1.25)

 

де і - відповідно постійна розпаду і кількість ядер одного із елементів ряду, вагова кількість якого відома.

Інтенсивність потоку гамма-квантів в повітрі, якщо поглинанням можна нехтувати, на відстані від джерела визначається за формулою

 

. (1.26)

 

де - вміст радіонукліда в джерелі, кг;

- кількість -квантів, які випромінює 1 кг радіонукліду.

 

Запитання для самоперевірки

1 Допишіть схеми перетворень:

1.1

1.2

1.3

2 Допишіть схеми радіоактивних перетворень:

2.1 ...

2.2 ...

2.3 ...

3 Напишіть формулу -розпаду.

4 Напишіть формулу позитронного -розпаду.

5 Напишіть формулу перетворення -захоплення.

6 Зобразіть графічно енергетичні спектри:

6.1 -частинок;

6.2 -частинок;

6.3 -квантів.

7 Напишіть закон радіоактивного розпаду:

7.1 В диференціальному вигляді;

7.2 В інтегральному вигляді;

7.3 У вигляді графіка;

8 Вкажіть на:

8.1 Зв’язок між і ;

8.2 Розмірність ;

8.3 Розмірність .

9 Напишіть схему перетворення перших чотирьох елементів уранового ряду ().

10 Яким елементом закінчуються урановий, торієвий і актиноурановий ряди?

11 Назвіть газоподібні ізотопи уранового, торієвого і актиноуранового рядів?

12 Скільки -частинок (в % від загальної кількості) утворюється до Ra і після Ra.

13 Скільки -квантів (в %) від загальної кількості) утворюється до Ra і після Ra.

14 Скільки -частинок утворюється при розпаді , який закінчується стабільним ізотопом .

15 За якої умови настає рухома радіоактивна рівновага?

16 За якої умови настає вікова радіоактивна рівновага?

17 Напишіть формулу рухомої радіоактивної рівноваги.

18 Напишіть формулу стійкої радіоактивної рівноваги.

Завдання для самостійної та індивідуальної роботи

1.1 В 0,001 г відбувається розпадів у секунду. Визначити період піврозпаду і постійну розпаду.

 

1.2 Розрахувати вагу чистого (без продуктів розпаду), чистого , , , активність яких дорівнює Бк.

 

1.3 Розрахуйте активність, вагу і об’єм (за нормальних умов) радона-222, який перебуває в рівновазі з 0,0001кг радія-226.

 

1.4 Визначте час, за який в 0,001 кг Ra²²⁶ накопиться ; ; Бк Rn -222.

 

1.5 Визначте питому активність (число розпадів в 1 кг за 1 с) для хімічно чистого урану (відношення ) і хімічно чистого торію ().

 

1.6 Визначте сталу розпаду радіоактивного ізотопа, якщо відомо, що за 1 годину активність випромінювання зменшилась на 15 %.

 

1.7 Вирахувати масу m в грамах ізотопа , активністю Бк, якщо період піврозпаду Т =5600 років.

 

1.8 Визначити число атомів, яке з достатньою достовірністю можна виявити при чутливості установки до радону у 10 імп/хв.

 

1.9 Визначити питому активність , якщо його період піврозпаду дорівнює років.

 

1.10 Радій перебуває в природній урановій руді в співвідношенні один атом радія на атомів урану. Вирахувати період піврозпаду урану, приймаючи,що період піврозпаду радію становить 1590 років.

 

1.11 За який проміжок часу з загальної кількості 100 мкг RaA () розпадається 5 мкг (Т =3,05 хв.)?

 

1.12 Визначити середній час життя радону, якщо за час, що становить 3,825 дня, його активність зменшилась з Бк до Бк.

 

1.13 Людина середньої ваги (70 кг) вміщує близько г радію і коло 260 г калію. Вирахувати активність власного і -випромінювання людини, яка викликається розпадом калію і радію. ( років).

 

1.14 Постійна розпаду радіоактивного елементу c. Визначити період піврозпаду Т і тривалість життя .

 

1.15 Розрахувати період піврозпаду ізотопа, радіоактивність якого визначалась початковим іонізаційним струмом A, а через 156 днів іонізаційний струм дорівнював A.

 

1.16 1 г радію випромінює за 1 с приблизно -частинок. Скільки -частинок за 1 с випромінює RaB, який перебуває в рівновазі з 1 г радію?

 

1.17 Розрахувати кількість -частинок, які випромінюються за 1 с 1 г відповідно:

а) радію; б) урану; в) радону; г) торію.

 

1.18 Маємо 0,5 кг радію. Яке загальне зменшення вартості цього запасу радію за рік, якщо вартість 1 г радію 25000 доларів?

 

1.19 Підрахунок сцинтиляцій показує, що в результаті розпаду 1 г випромінюється -частинок за 1 с. Визначити постійну розпаду і період його піврозпаду.

 

1.20 Розрахувати питому активність (активність 1 г) урану в рівновазі з продуктами розпаду по -випромінюванню, якщо відомо, що період піврозпаду урану років.

 

1.21 Вирахувати питому активність (активність 1 г) по -випромінюванню урану і торію в рівновазі з їх продуктами розпаду. Число -випромінювачів в ряді урану - 6, а в ряді торію - 4.

 

1.22 Розрахуйте скільки треба переробити рівноважного урану, щоб одержати 0,005 кг радію?

 

1.23 Ізотопний склад калію такий: - 93,08 %, - 0,0119 %, - 6,91 %. Визначте період піврозпаду , якщо абсолютна активність 0,250 кг дорівнює 7000 Бк.