Игра 2-х лиц без седловой точки. Смешанные стратегии

Одна из возможностей расширения стратегий игроков – разнообразить способ выбора своей стратегии, например, «случайно».

Как мы уже отмечали, в отсутствии седловой точки, игрок А, применяя свою максиминную стратегию, выиграет не менее , а игрок В, применяя свою минимаксную стратегию, проигрывает не более , где . Применение чистых стратегий в каждой партии такой игры не дает возможность игрокам увеличить выигрыш , чем уменьшить проигрыш . Для того, чтобы это было возможным необходимо применять не одну, а несколько чистых стратегий, чередуя их случайным образом с какими-то частотами. Такая стратегия получила название смешанной (ее элементами являются чистые стратегии).

Смешанная стратегия имеет смысл при условии, что игра состоит из более чем одной партии.

 

Обозначим смешанные стратегии игроков А и В через

и , где

- вероятность (частота) применения игроком А чистой стратегии , - вероятность (частота) принятия игроком В чистой стратегии .

Причем и .

Чистые стратегии игроков А и В, для которых вероятности и отличны от 0 называются активными.

Теорема (основная теорема теории игр) (теорема минимакса).

Любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение (т.е. пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных) и соответствующую цену.

 

Решение игры, не имеющей седловой точки может осуществляться различными методами. Рассмотрим наиболее важные из них.

Графическое решение игр вида и

Этот метод применим только к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Рассмотрим следующую игру (без седловой точки)

Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, представлены в таблице

 

В А			…
			…
			…

 

Отсюда видно, что ожидаемый выигрыш игрока А линейно зависит от . В соответствии с критерием минимакса игрок А должен выбирать так:

 

 

Чистые стратегии игрока В	Ожидаемые выигрыши игрока А
…	…
N

 

Пример:

 

Вj Аi	В1	В2	В3	А1 доминирующая одинаковые В4
А1				6
А2
А3
А4

 

Замечания: Стратегии, для которых есть доминирующие и дублирующие стратегии можно отбрасывать.

 

Вj Аi	В1	В2	В3	В4
А1
А4

В3 доминирующая

 

 

Вj Аi	В1	В2	В4
А1
А4
				2

Х1

-цена игры	Чистая стратегия Игрок В	Ожидаемый выигрыш игрока А
	-6х1 + 8	zZ1
	-2х1 + 6	zZ2
	5х1 + 1	zZ3
	Чистая стратегия Игрока А	Ожидаемый выигрыш Игрока В
	-4у1+6
	7у1+1

 

 

Задачи (для самостоятельной работы):

1. «Семейный спор». Пусть со стороны мужа и жены имеется два взаимоисключающих предложения провести наступающий вечер: муж предлагает остаться дома и смотреть телевизор, жена – пойти в театр. Построить для данной конфликтной ситуации «платежные» матрицы для мужа и жены.

 

2. «Отгадывание монет». Пусть у каждого игрока имеется по 2 монеты: 1 руб. и 2 руб. если при подбрасывании обоих момент их стороны совпадают, то деньги забирает первый игрок, если нет, второй. Построить платежную матрицу для первого игрока. Есть ли у данной игры седловая точка?

 

3. Пусть в двух местных предприятиях в цехах ширпотреба предлагают выпустить оригинальную елочную игрушку к Новому году. У предприятия «Заря» от предыдущих сезонов остались штампы для изготовления «птичек», а у продукции «Луч» – для изготовления «рыбок», что ограничивает планы этих предприятий игрушкой соответствующей формы. Каждое предприятие может выпускать игрушки в одном из вариантов: цветном и серебристом, причем себестоимость и продажная цена всех 4-х видов игрушек одинакова. Одновременно же выпуск предприятием игрушки в цветном и серебристом вариантах с самого начала признан экономически не выгодным и поэтому не рассматривается. За пределы города эта продукция не вывозится. В самом же городе, как установили социологи, найдет сбыт одна тысяча штук игрушек всех видов, причем спрос на них распределяется в соответствии с данными.

 

	УП	УР	СП	СР
УП	Х	40%	70%	90%
УР	60%	Х	30%	50%
СП	30%	70%	Х	20%
СР	10%	50%	80%	Х

 

Определить оптимальную стратегию предприятий в следующих двух предложениях:

а) будем считать, что руководство «Луча», своевременно узнает какую игрушку решила выпустить «Заря», а когда «Заря» узнает, какую игрушки выпустил «Луч», перестраиваться ей уже будет поздно;

б) информация о выпуске продукции неизвестна, ни той, ни другой стороне.

4. Дана платежная матрица.

В А	В1	В2	В3	В4
А1
А2
А3			-1
А4	-3			-1

 

Определить оптимальную стратегию игроков.

Тема 6. Балансовые модели.

 

В основе этих моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся ресурсов, например, трудовых, и потребностей в них.

Как отмечено выше, балансовые модели строятся в виде числовых матриц. Такую структуру имеют межотраслевой и межрайонный баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве, модели развития отраслей, межотраслевые балансы производства и распределения продукции отдельных регионов, модели промфинпланов предприятий и фирм и т.д. Несмотря на специфику этих моделей, их объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единства системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, содержание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно, на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.

Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в таблице.

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
			…	…	n
. . . n	x11 x21 x31       xn1	x12 x22 x32       xn2	x13 x23 x33       xn3	… …     …	… …   …	x1n x2n x3n       xnn	Y1 Y2 Y3     Yn	X1 X2 X3 … … … Xn
Амортизация   Оплата труда   Чистый доход	С1   V1	С2   V2	С3   V3	…	…   …	Cn   Vn
Валовая продукция	X1	X2	X3	…	…	Xn

Первый квадрант МОБ – это шахматная таблица межотраслевых связей. Представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Во втором квадранте представленная конечная продукция всех отраслей материального производства, направленная на потребление и накопление (характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода).

Третий квадрант МОБ тоже характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации. Сумма амортизации (С_j) и чистой продукции (V_j+m_j) некоторой отрасли будем называть чистой продукцией этой отрасли и обозначить Z_j.

Четвертый квадрант баланса отражает конечное распределение и использование национального дохода. Общий итог этого квадранта, как второго и третьего должен быть равен созданному за год национальному доходу. Рассмотрим два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющихся основой его экономико-математической модели.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

 

, (6.1)

 

Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли.

, (6.2)

 

Просуммируем по всем отраслям уравнение (6.1), в результате чего получим

 

 

Аналогичное суммирование уравнений (6.2) дает:

 

 

Отсюда следует соблюдение соотношения

 

(6.3)

 

Величины называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

 

, (6.4)

 

Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-ой отрасли.

С учетом формулы (6.4) систему баланса (6.2) можно переписать в виде

, (6.5)

 

или в матричной форме

(6.6)

 

Система уравнений (6.5) или в матричной форме (6.6) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева).

С помощью этой модели можно выполнить 3 варианта расчетов:

А) Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (), можно определить объемы конечной продукции каждой отдельной отрасли ():

 

(6.7)

 

В) Задав величины конечной продукции всех отраслей (), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли ():

 

(6.8)

 

С) Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6.6), а системой линейных уравнений (6.5).

 

Пусть , то (6.9)

Или , (6.10)

 

Коэффициенты называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков.

Определение 2. Коэффициенты полных материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-ой отрасли.

Анализ модели МБ приводит к следующим выводам:

а) – по определению;

б) , т.к. процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продуктов, чем создавалось;

в) - из содержательных систем .

Определение 3. Матрица называется продуктивной, если существует такой , что (6.11). Отсюда следует, что для продуктивной матрицы из (6.6) существует положительный вектор конечной продукции .

Для того, чтобы матрица была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий.

1) матрица неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица .

2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна .

3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы , т.е. решения характеристического уравнения

строго меньше единицы

4) все главные миноры матрицы , порядка от 1 до n положительны.

Замечание. Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы является следующий признак , т.е. если величина наибольшего из сумм ее элементов в каждом столбце < 1, то матрица продуктивна.

 

Пример 1. Для трехотраслевой эконономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

 

 

Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, заполнить схему межотраслевого материального баланса.

1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц:

а) находим матрицу (Е-А)

 

 

б) вычисляем определитель этой матрицы:

 

 

в) транспортируем матрицу (Е-А):

 

г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы

Таким образом, присоединенная к матрице матрица имеет вид:

 

 

д) используя формулу (6.9), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

 

Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х), используя формулу (6.8):

 

 

2. Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы: . Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину ; элементы второго столбца матрицы А умножить на ; элементы третьего столбца матрицы А умножить на .

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (6.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета представлены в табл.

 

Таблица 6.1

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
	232,6 155,1 232,6	51,0 255,0 51,0	291,8 0,0 145,9	200,0 100,0 300,0	775,3 510,1 729,6
Условно чистая продукция	155,0	153,1	291,9	600,0
Валовая продукция	775,3	510,1	729,6		2015,0

 

Задачи (для самостоятельного решения):

1. Дана структурная схема взаимодействия двух отраслей:

Определить матрицу прямых затрат. Проверить ее продуктивность.

 

2. Дана матрица прямых затрат А и вектор конечной продукции Y. Проверить продуктивность матрицы А. Найти матрицу полных материальных затрат, валовую продукцию каждой из отраслей. Построить балансовую таблицу.

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

 

1. Анфилатов В.С. «Системный анализ в управлении», 2003г.

2. Антонов А.В. «Системный анализ», М. Высшая школа, 2004г.

3. Губанов В.А. и др. «Введение в системный анализ». Изд-во ЛГУ,1988г.

4. Захарченко Н.Н., Минеева Н.В. «Основы системного анализа»:

Часть I. - СПб: Изд-во Санкт – Петербургского университета экономики и финансов, 1992.-78с.

5.Зайченко Ю.П. «Исследование операций». Киев: «Вища школа»,

1975-320с.

6. «Исследование операций в экономике»: Учебное пособие для вузов по эконом. специальностям/ Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, 1999.-407с.

7. Перегудов Ф.П., Тарасенко Ф.П. «Основы системного анализа». Томск: Изд-во НТЛ. 1997.-396с.

8. Робертс Ф.С. «Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам». М.: Наука, 1986.-496с.

9. Теория систем и системный анализ в управлении организациями. Справочник под. Редакцией В.Н. Волковой и А.А. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2006-846с.