Методичні настанови щодо виконання завдання 5

Побудувати переріз заданої кривої поверхні площиною загального положення.

Розв’язання задачі розглянуто на прикладі (див. рис. 14), коли крива поверхня задана похилим конусом, а січна площина прямими m і n, які перетинаються, з використанням допоміжного косокутного проекціювання.

1. Для визначення перетину твірних поверхні з січною площиною, переводимо її з загального положення в проекціююче положення, (див. п.1, 4 пояснення до завдання 4).

При косокутному проекціюванні в напрямку однієї з ліній січної площини, вона спроекціюється в пряму лінію на відповідній площині проекцій. Напрямом допоміжного косокутного проекціювання вибираємо пряму m. Тому з M₂ та N₂ (які вибрані довільно) проведемо допоміжні проекціюючі промені паралельно m₂ до перетину з віссю x_{1 2} . Перетин ліній проекціювального зв’язку з допоміжними проекціювальними променями на площині П₁, проведеними з M₁ та N₁ паралельно напрямку проекціювання, визначить допоміжні проекції ₁

та ≡ ₁, через які пройде слід площини ≡ на площині проекцій П₁.

2. Конус проекціюємо на площину П₁ в тому ж напрямку що і площину mn. Основа конуса належить площині П₁, тому вона буде незмінна. З вершини S₂ проведемо допоміжний проекціювальний промінь до перетину з віссю x_{1 2} . З направимо лінію проекціювального зв’язку до перетину з допоміжним проекціювальним променем, який пройшов з вершини S₁ паралельно напрямку проекціювання. Допоміжну проекцію вершини конуса з’єднаємо з колом основи.

3. Позначаємо контурні твірні конуса на площинах проекцій: на площині П₂ це твірні S₂A₂ та S₂B₂, а на площині П₁ – S₁C₁ та S₁D₁. Будуємо допоміжні твірні SE та SK, у яких точки Е і К на площині П₂ збігають.

 

25.

Рис. 14. Приклад виконання завдання 5

26.

4. З’єднаємо точки основи А₁, В₁, С₁, D₁, Е₁, К₁ з допоміжною проекцією вершини конуса . Точки перетину допоміжних проекцій твірних зі слідом площини ≡ визначать допоміжні проекції точок перерізу:

= ∩ ≡

= ∩ ≡

= ∩ ≡

= ∩ ≡

= ∩ ≡

= ∩ ≡

5. Проекціювання кожної точки перерізу в зворотному напрямку, паралельно попередньому, на відповідну проекцію твірної, визначить горизонтальну 1₁2₁3₁4₁5₁6₁ і фронтальну 1₂2₂3₂4₂5₂6₂ проекції перерізу.

6. Визначимо видимість перерізу (еліпса) на площинах проекцій. Переріз на ділянці 4₁5₁2₁6₁3₁ на площину П₁ проекціюється як видимий, тому що твірні,

на яких розташовані точки, проекціються як видимі.

Переріз на ділянці 1₂3₂6₂2₂ на площину П₂ проекціюється як невидимий, тому що твірні, на яких розташовані точки, проекціються як невидимі.

Завдання 6. Перетин геометричних тіл прямою лінією

та побудова розгортки

Умова: Побудувати перетин заданих поверхонь призми, піраміди, циліндра, конуса, сфери відрізком прямої. Визначити видимість прямої на проекціях. Побудувати розгортку поверхні з нанесенням точок перетину прямої з поверхнею.

Завдання виконати на аркуші формату А4. Варіанти наведені в табл. 6 збірника завдань.

Методичні настанови щодо виконання завдання 6

Визначити точки перетину поверхонь призми, піраміди, циліндра, конуса, кулі відрізком прямої. Визначити видимість на проекціях. Побудувати розгортку поверхні з нанесенням точок перетину прямої з поверхнею.

В прикладі (див. рис. 15), для визначення точок перетину прямої з поверхнею похилого конуса, використовується допоміжне центральне косокутне проекціювання. Центр проекціювання – вершина конуса.

1. На заданій прямій виберемо довільні точки А і В. Проведемо проекціювальні промені з вершини S₂ через А₂ та В₂. З допоміжних проекцій

та проведемо лінії зв’язку до перетину з проекціювальними променями

проведеними з вершини S₁ через А₁ та В₁.

 

27.

Рис. 15. Приклад виконання завдання 6

28.

2. Перетин допоміжної проекції прямої з колом основи, в яке спроекціювалася бічна поверхня конуса, визначить допоміжні проекції точок перетину. Проекції M₁ та N₁ побудовані за допомогою зворотних променів. Проекції M₂ та N₂ будуємо використовуючи належність точки до прямої.

3. Визначити видимість прямої на площинах проекцій дозволить місце розташування точок М₁ і N₁.

Горизонтальна проекція прямої до точки М₁ проекціюється як видима, тому що точка М₁ розташована на видимій частині поверхні конуса. Між точками перетину і після точки N₁ пряма проекціюється як невидима. Так саме визначиться видимість фронтальної проекції прямої.

4. Суміщення поверхні з площиною називають розгорткою. Для поверхні конуса використаємо метод апроксимації – наближення.

Вписавши в конус правильну піраміду з восьмикутником 1₁2₁3₁4₁5₁6₁7₁8₁ в основі і вершиною конуса S₁, наблизимо криву поверхню до граної.

5. Використовуючи обертання кожного ребра вписаної піраміди навколо вісі, яка проходить через вершину S ₁ і перпендикулярна до площини проекцій Π₁, визначимо НВ бічних ребер піраміди.

6. В довільному місці проведемо пряму, на якій відкладемо НВ бічного ребра піраміди S ₂ 1¯₂. З точки 1₀ проведемо дугу радіусом 1₁2₁, а з точки S₀ дугу радіусом S ₂ 2¯₂. Будуємо інші точки основи піраміди (конуса). Побудовані точки з’єднаємо за допомогою лекала. Дотично до лекальної кривої будуємо коло основи.

7. Побудова на розгортці точок перетину прямої з поверхнею похилого конуса зрозуміла з приклада.

Завдання 7. Взаємний перетин багатогранників

Умова: Побудувати лінію взаємного перетину заданих багатогранників. Показати видимість на площинах проекцій.

Завдання виконати на форматі А4. Варіанти наведені в табл. 7 збірника завдань.