Методичні настанови щодо виконання завдання 2

а) Визначити натуральну величину відстані від точки D до площини, заданої трикутником АВС (приклад виконання на рис. 6) .

Найкоротша відстань від точки до площини – перпендикуляр. При побудові перпендикуляра до площини врахуємо умову перпендикулярності прямої до площини та властивості прямого кута.

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих площини, які перетинаються.

Властивість прямого кута полягає в тому, що при паралельності однієї із його сторін до площини проекцій, він проекціюється на останню в НВ.

В якості прямих площини, які паралельні площинам проекцій, використаємо горизонталь і фронталь.

1. За координатами будуємо проекції точок А, В, С та D і з’єднаємо їх відповідно до умови.

2. Горизонталь – лінія, яка належить площині і паралельна горизонтальній площині проекцій П₁. Її побудову починаємо з фронтальної проекції h₂, яка паралельна до x₁₂.

Через будь яку вершину (на рис. 2 – точка С₂), в межах трикутного відсіку, проведемо h₂ до перетину зі стороною трикутника А₂В ₂ і визначимо фронтальну проекцію точки 1₂. Точку 1₁ визначимо за належністю точки прямій. Тоді С₁1₁ –горизонтальна проекція горизонталі – h₁.

3. Фронталь – лінія, яка належить площині і паралельна фронтальній площині проекцій П₂. Через точку С₁ проведемо горизонтальну пряму f₁ до перетину з проекцією А₁В₁ сторони трикутника і визначимо горизонтальну проекцію точки 2₁. Точку 2₂ визначимо за належністю точки прямій. Тоді С₂2₂ – фронтальна проекція фронталі – f₂.

4. З точки D будуємо перпендикуляр d до площини заданої ∆ АВС. Для цього з точки D ₁ проведемо перпендикуляр d₁ до h₁, а з D₂ – до f₂.

 

9.

Рис. 6. Приклад виконання завдання 2а

10.

5. Визначимо точку перетину перпендикуляра d з площиною. Для цього через d проведемо допоміжну фронтально-проекціюючу січну площину Σ (Σ₂ ≡ d₂) та будуємо проекції лінії 3-4 (3 = Σ ∩ АС; 4 = Σ ∩ ВС) перетину площин АВС та Σ.

Точка перетину лінії 3₁-4₁ з d₁ і буде шуканою точкою N (N₁ = d₁ ∩ 3₁ - 4 ₁; N₂ будуємо за належністю точки прямій).

6. Використовуючи спосіб прямокутного трикутника (див. стор. 6) визначимо НВ відрізка DN, який і є відстанню від точки D до площини АВС.

б) побудувати площину паралельну площині трикутника DЕK на відстані 35 мм ( приклад виконання на рис. 7 ).

Площини паралельні між собою, якщо дві лінії, що перетинаються, однієї площини, паралельні двом лініям, що перетинаються, іншої площини.

1. Будуємо лінії рівня трикутника DЕК.

2. Для спрощення розв’язання задачі, побудову перпендикуляра d виконаємо в одній з вершин трикутника (наприклад, Е).

4. На проекції перпендикуляра d₁ виберемо довільну точку N₁. З точки N₂ (визначеною за відповідністю точки до прямої) проведемо перпендикуляр до d₂, на якому відкладемо різницю ординат точок Е та N. На рис. 3 різниця ординат і відрізок N₂N₂^' позначена двома рисками.

5. На лінії, яка з’єднує точку Е₂ з точкою N₂^', відкладемо задану НВ відстані між площинами – 35 мм (Е₂М₂^').

6. Перпендикуляр з М₂^' на d₂ визначить точку М₂. Разом з відповідною їй точкою М₁ вона дає проекції точки, яка віддалена від трикутника DЕК на задану відстань.

7. Задамо нову площину двома прямими а і b, які перетинаються в точці М, за умовою що а ІІ DЕ, а b ІІ ЕК. Зважаючи, що прямі паралельні, якщо паралельні їх однойменні проекції, в точці М₁ проведемо а₁ ІІ D₁Е₁ та b₁ ІІ Е₁К₁, а в точці М₂ проведемо а₂ ІІ D₂Е₂ та b₂ ІІ Е₂К₂.

в) через пряму DК провести площину перпендикулярну до заданої площини АВС, побудувати лінію їх взаємного перетину та показати видимість елементів площин в проекціях, позначити проекції кута між прямою DК і площиною АВС ( приклад виконання на рис. 8 ).

Нову площину задамо двома прямими, що перетинаються. Одна з них пряма DК, а друга – перпендикуляр d з точки D до АВС.

Лінія взаємного перетину двох площин визначиться двома точками: одна - перетин заданої прямої DК, а друга - перпендикуляра d з площиною АВС.

1. Побудову перпендикуляра d до АВС і точки їх перетину виконаємо відповідно до настанов до завдання 2а.

2. Пряма МN (М = d ∩ 3-4; N = DK ∩ 5-6) – лінія перетину площин.

3. Для визначення видимості елементів площин в проекціях скористаємося конкуруючими точками, проекції яких на одній площині проекцій збігають, а на іншій не збігають.

 

11.

Рис. 7. Приклад виконання завдання 2б

12.

Рис. 8. Приклад виконання завдання 2в

13.

Так на площині П₂ точка 5₂, що належить В₂С₂, збігає з точкою 7₂, яка належить D₂К₂. Розташування проекцій точок 5₁ та 7₁ на площині П₁, дозволяє зробити висновок, що точка 5 буде видимою, бо ордината точки 5 більша з ординату точки 7 (вона ближче до спостерігача). Таким чином, сторона В₂С₂, якій належить точка 5₂, перекриває сторону D₂К₂, і тоді, відповідно, трикутник А₂В₂С₂, на цій ділянці, перекриває новостворену площину. Ділянка прямої D₂К₂ від точки 7₂ до N₂ та перпендикуляра d₂ від точки М₂ до В₂С₂, а також частина A₂С₂ проекціюються на площину П₂ як невидимі і зображаються лінією штриховою.

На площині П₁ точка 8₁, яка належить А₁С₁, збігає з точкою 9₁, яка належить D₁К₁. Розташування проекцій цих точок на площині П₂ дозволяє зробити висновок, що точка 8 видима, бо її апліката більша аплікати точки 9. Таким чином, сторона А₁С₁, якій належить точка 8₁, перекриває D₁К₁, і, відповідно, трикутник А₁В₁С₁ на цій ділянці, перекриває перпендикулярну до неї площину. Ділянка прямої D₁К₁ від точки 9₁ до N₁ та перпендикуляра d₁ від точки М₁ до 4₁, а також частина С₁В₁ проекціюються на площину П₁ як невидимі.

4. Кут між проекцією лінії МN перетину площин та проекцією прямої DК і є проекцією кута між прямою та площиною.

Завдання 3. Дослідження багатогранника з застосуванням

способів перетворення проекцій

Умова: В заданому багатограннику визначити: а) відстань між зазначеними паралельними ребрами; б) відстань між зазначеними мимобіжними ребрами;в) відстань від вершини до ребра або грані; г) відстань від ребра до паралельної йому грані; д)відстань між паралельними гранями; е) величину двогранного кута при зазначеному ребрі; ж) натуральну величину зазначеної грані.

Завдання виконати на 4 аркушах формату А4. Варіанти наведені в табл. 3 збірника завдань.