Ознаки подільності на 2,3,5,9.

Теорема:Ознака подільності на 2: Число а ділиться на 2, тоді і тільки тоді, коли остання його цифра є парним числом або нулем.

Доведення: представимо число а у вигляді суми розрядних доданків: а=а_n*10ⁿ / 2 +……+а ₂*10 ²/ 2 +а ₁*10¹/ 2+а ₀ Очевидно, що всі доданки які містять степінь числа 10, діляться на 2, бо 10:2. Тому подільність числа а на 2 буде залежати від того якою є цифра а ₀. Якщо вона парна, то всі доданки діляться на 2, а отже і сума ділиться на 2, якщо не парна то число не ділиться на 2.

Ознака подільності на 3: Число а ділиться на 3, тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

Доведення: розглянемо трицифрового числа. а ₂а₁а₀ = а2*10² +а1*10 +а0=а2*(99+1) +а1*(-9+1) +а0=99а2 + а2 +9а1 +а1 +а0 = 99а2 + 9а1 + (а2+а1+а0).

Ознака подільності на 5: Число а ділиться на 5, тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 5 або 0. Доведення аналогічно.

Ознака подільності на 9: Число а ділиться на 9, тоді і тільки тоді коли сума його цифр ділиться на 9. Доведення аналогічно. 3951 3, бо 3+9+5+1=18 3

Терема про подільність та неподільність різниці.

Теорема(про подільність різниці): Якщо зменшуване і від’ємник ділиться на в, то і різниця діл на в. Доведення: за умовою зменшуване і від’ємник ділиться на в, а тому їх можна представити у вигляді: а₁= в *q₁ а₂= в *q₂ а₃= в *q₃ ……………..

а₁-а₂-а₃…=в(q₁- q₂ - q₃ -…) Отже, різниця також ділиться на в.

Вимірювання площ. Способи визначення плоских фігур.

Площею фігури називається позитивна величина, визначена для кожної фігури.

Для вимірювання площ використовуються різні графічні та інструментальні способи. Якщо ділянка має прямолінійні границі, то її ділять на прості геометричні фігури (трикутники, квадрати і трапеції), вимірюють площу кожної із них, які потім сумують. Якщо її межі криволінійні, контур теж розбивають на геометричні фігури так, щоб сума відрізаних ділянок і сума залишків взаємно компенсувалися.Найчастіше для вимірювання площ використовують палетку – накреслену на прозору основу сітку квадратів, точок чи паралельних рівновіддалених ліній, а тому палетки можуть бути квадратні, паралельні й крапкові. Ними вимірюють площі невеликих ділянок. Основний недолік квадратних палеток – можливість грубого прорахунку у визначенні кількості клітинок.Перед вимірюванням визначають величину поділки (клітинки) в мм2 чи см2 (відомо що p=a2, де a – сторона поділки палетки в мм чи см, а p – її площа). Потім визначають "ціну" поділки палетки – число одиниць земельної міри, яке відповідає одній поділці палетки для карти певного мастабу. Площа ділянки визначається шляхом добутку кількості поділок палетки, що обмежені контуром ділянки, на її "ціну". Виміри площ можна проводити лише тоді, коли об’єкти мають площинне вираження. При цьому визначається площа не фізичної поверхні ділянки, а її проекція на горизонтальну площину. Часто використовують спосіб поділу площі на геометричні фігури – трикутники, квадрати, трапеції тощо, площі яких можна вирахувати за відомими формулами (т.з. графічний спосіб). Доведено, що найточніші результати отримують при розбивці ділянки на трикутники. Цей спосіб доцільно застосовувати для визначення площ ділянок розміром до 15 см2. Точність способу дорівнює 1/100-1/200 площі, що вимірюється.

Поняття дробу. Основна властивість дробу. Рівносильні дроби.

Упорядкована пара натуральних чисел m і n, що записується символом, називається звичайним дробом або просто дробом, при цьому число m називається чисельником, а число n – знаменником дробу.
Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, що не дорівнює нулю, то одержимо дріб, тотожно рівний даному дробу. Наприклад, дріб тотожно рівний дробу , де а ≠ 0.

Основна властивість дробу дозволяє скорочувати дроби. Для цього визначають найбільший спільний множник чисельника і знаменника і скорочують дріб на цей вираз.

Якщо змінити знак чисельника на протилежний, то знак дробу зміниться на протилежний.

Якщо змінити знак знаменника на протилежний, то знак дробу зміниться на протилежний.

Якщо змінити і знак чисельника, і знак знаменника на протилежний, то знак дробу не зміниться.