Теореми про подільність та неподільність суми.

Теорема(про подільність суми): Якщо кожний із доданків а₁, а₂, а₃… ділиться на в, то і сума а₁+а₂+а₃… ділиться на в.

Доведення: за умовою кожний із доданків ділиться на в, а тому їх можна представити у вигляді: а₁= в *q₁ а₂= в *q₂ а₃= в *q₃ ……………..

а₁+а₂+а₃…=в(q₁+ q₂ + q₃ +…) Отже, сума також ділиться на в.

Теорема(про неподільність суми): Якщо в сумі один із доданків не ділиться на в, а всі інші діляться, то сума на в не поділиться.

Прості і складені числа. Властивості простих чисел. Теорема про нескінченність множини простих чисел.

Натуральне число більше одиниці називається: 1) простим, якщо воно має своїми дільниками тільки одиницю і саме себе; 2) складеним, якщо воно має не менше трьох дільників. Наприклад, за цим означенням числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 прості, а числа 4, 6, 8, 9, 10, 12 – складені.
Вл-сті: 1) якщо p і q – різні прості числа, то жоден з них не ділиться на інше. 2) якщо добуток натуральних чисел а і в ділиться на просте число р, то хоча б один із множників ділиться на р.

Теорема (про існування простого дільника): будь яке натуральне число яке більше одиниці має хоча б один простий дільник.

Теорема: найменший простий дільник р, складеного числа а не перевищує корінь квадратний за а.

Доведення: нехай р-простий дільник числа, тоді а=p*q, де р< q. р< q/*р; р²< рq; р²<а; р< .

Цю теорему використовують для перевірки того чи є деяке число простим.

ПР. Чи є простим число 137. Оскільки 11< <12, то достатньо перевірити чи ділиться 137 на 2,3,5,7,11. 137 2; 137 3; 137 5; 137 7; 137 11. Отже, 137 – просте число.

Імплікація двох висловлень. Еквіваленція двох висловлень.

а	в	а→в

а	в	а↔в

Імплікацією наз таке складне висловлювання а→в (якщо а, то в), яке хибне тоді і тільки тоді, коли перше висловлювання істинне, а друге хибне. → - «то»

Еквіваленцією двох висловлювань наз таке складне висловлювання а↔в, яке істинне тоді, коли обидва простих речень або істинні або одночасно хибні. ↔ – «тоді і тільки тоді»

Теорема про подільність добутку.

Теорема про подільність добутку: Якщо один з множників ділиться на натуральне число n, то й добуток ділиться на це число.
Доведення: Нехай множник а добутку аb ділиться на число n, тобто а = nq. Тоді аb = (nq) b = n (qb). Отже, аb ∩ n. Теорему доведено.
Аналогічно доводиться твердження для більшого числа множників.
Наслідок: Якщо в добутку аb множник а ділиться на m, а множник b ділиться на n, то добуток аb ділиться на mn.
Наприклад, 2436 ділиться на 108, бо 108 = 129.

Нерівності та їх властивості. Теореми про рівносильні нерівності.

Означення: Предикат виду f(x) > g(x) вирази із змінною, визначені на деякій множині Х, наз нерівністю. Означення: Множина значень змінної при яких нерівність перетворюється в правильну числову наз множиною роз’язків. Теорема: Якщо до обох частин нерівності (1): f(x)>g(x) додати один і той самий вираз із змінною h(х), визначений на тій самій області, то одержимо(2): f(x) + h(х) =g(x) + h(х). У поч школі розв’язуються нерівності лише методом підбору х<5 Нерівність, до якої входить зміннa, нaзивaється нерівністю з однією змінною. Нерівності з однією змінною розв’язуються.

Розв’язaти нерівність — ознaчaє знaйти множину її розв’язків aбо довести, що їх не існує.

Розв’язок нерівності з однією змінною — це знaчення змінної, яке зaдовольняє цю нерівність.

Рівносильні нерівності — це нерівності, що мaють одні й ті сaмі розв’язки. Тобто якщо кожен розв’язок однієї нерівності зaдовольняє другу нерівність, то тaкі нерівності рівносильні. Нaприклaд, нерівність x + 1 > 2 рівносильнa нерівностям x > 1, x – 1 > 0 тa іншим.

Тотожнa нерівність — це нерівність, прaвильнa при всіх вкaзaних знaченнях змінних.

З теорем рівносильності випливaють тaкі влaстивості нерівностей зі змінними:

1. У будь-якій чaстині нерівності можнa розкрити дужки.

2. У будь-якій чaстині нерівності можнa звести подібні додaнки.

3. Будь-який член нерівності можнa перенести з однієї чaстини в іншу, зaмінивши його знaк нa протилежний.

4. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме додaтне число.

5. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме від’ємне число, зaмінивши при цьому знaк нерівності нa протилежний.