Оценка результатов выборочного наблюдения и распространение их на генеральную совокупность.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ВЫБОРОЧНОГО НАБОЛЮДЕНИЯ – это распространение его результатов на генеральную совокупность.

Обычно этому предшествует оценка результатов выборки с точки зрения самой возможности такого распространения. Вывод зависит во многом от качества основы выборки, прежде всего от ее полноты.

Под полнотой подразумевается наличия или представленность всех групп или типов генеральной совокупности в основе выборки. Неполнота может привести к нарушению представительности выборки, и, как следствие, к неправильным выводам, при анализе ее данных.

Вывод о возможности распространения результатов делается не только исходя из анализа исходных данных. Другой основой суждения может являться расчет относительной ошибки.

Относительная ошибка для средней

Для доли

Если величина относительной ошибки не превышает заранее установленного значения, то данные выборочного наблюдения являются представительными, и могут быть распространены на генеральную совокупность. В противном случае, пытаются восстановить исходные пропорции генеральной совокупности.

Этот процесс называется корректировкой или коррекцией (постстатификацией) выборки.

 

Малая выборка

При большом числе единиц выборочной совокупности (n>100) распределение случайных ошибок выборки по теореме Липунова нормально или приближенно нормально.

Расчет ошибки выборки базируется на генеральной дисперсии.

На практике часто приходится сталкиваться с так называемыми малыми выборками. Под малыми выборками подразумевается выборочные наблюдения, численность единиц которых не превышает 30.

Разработка теории малой выборки была начата в 1908году английским статистиком В.С. Госсет (Стьюдент).

Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения. При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии не используется.

Для определения пределов ошибки используют критерии Стьюдента.

Чем меньше численность выборки, тем больше распределение Стьюдента отличается от нормального.

Величина t иначе связана с вероятностью, чем при большой выборке. Здесь действует особый закон распределения, и оценка зависит не только от вероятности, но и от объема выборки.

Выдержки из таблицы Стьюдента для определения t приведены в таблице №3.

Распределение вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия и объема выборки

0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
При в таблице даны вероятности нормального распределения. Для определения вероятности соответствующие табличные значения следует разделить на 1000.

 

Пример 7. Предположим, что выборочное обследование 10 рабочих малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали времени (мин.): 3,4; 4,7; 1,8; 3,9; 4,2; 3,9; 3,7; 3,2; 2,2; 3,9. Найти предельную величину ошибки для определения среднего с вероятностью 0,924.

Найдем выборочные средние затраты:

мин.

Выборочная дисперсия

Отсюда средняя ошибка малой выборки

мин.

По табл. 3 находим, что для коэффициента доверия объема малой выборки вероятность равна 0,924. Таким образом, с вероятностью 0,924 можно утверждать, что разность не превысит по абсолютной величине 0,56 . Следовательно, средние затраты времени во всей совокупности будут находиться в пределах от 2,93 до 4,05 мин. Вероятность того, что это предположение в действительности неверно и ошибка по случайным причинам будет по абсолютной величине больше, чем 0,56, равна: .

 

Таблица вероятности Стьюдента чаще приводится и в иной форме, которая считается наиболее удобной для практического использования.

Некоторые значения -распределения Стьюдента

Число степеней свободы
Для одностороннего интервала	для двустороннего интервала
	2,35	4,54	3,18	5,84
	2,13	3,75	2,78	4,60
	2,01	3,37	2,57	4,03
	1,94	3,14	2,45	3,71
	1,89	3,00	2,36	3,50
	1,86	2,90	2,31	3,36
	1,83	2,82	2,26	3,35
	1,81	2,76	2,23	3,17
	1,75	2,60	2,13	2,95
	1,73	2,53	2,09	2,85
	1,70	2,46	2,04	2,75
	1,67	2,39	2,00	2,66
	1,64	2,33	1,96	2,58

 

Число степеней свободы:

Расчет ошибок в малой выборке мало отличается от расчета большой выборки. Расхождение состоит в том, что при малой выборке вероятность наших выводов несколько ниже, чем при большой.

Выводы по результатам малой выборки имеют практическое значение лишь при условии, что распределение признаков в генеральной совокупности хотя бы близко к нормальному. Поэтому к малым выборкам прибегают с большой осторожностью. И только в тех случаях, когда проведение большой выборки невозможно.