Наближенні рішення рівнянь Максвела для круглих слоїстих світловодів.

Лучевой метод расчета волоконных свето­водов не дает полной картины распространения волн в ступенчатом ОВ. Поэтому необходимо обращаться и к волновому методу решения уравнений Максвелла или волнового уравнения. Волновое уравнение в цилиндрической системе координат г, φ, z относительно компо­нентов электрического поля или магнитного поля Hz, изменяющихся во времени t и вдоль оси z волокна, в виде

переходит в уравнение Гельмгольца:

где χ - поперечное волновое число, или собственное значение; β- фазовая постоянная.

Для описания поведения электромагнитного поля в сердцевине (0<r<а) и в оболочке (a <r <b) необходимо использовать различные функции. Для простоты решения уравне­ния (2.51) предположим, что оболочка ОВ с п2 на рис. 2.19 простирается до бесконечности (d=oo). В таком случае п в формуле (2.52) равно или n1 в середине ОВ, или п2 во внешней сре­де. Для нахождения бегущих вдоль оси z волн необходимо для внешней среды положить

чтобы поле в радиальном направлении в среде и, убывало. Тогда решение уравнения Гельмгольца можно записать:

для сердцевины ОВ с показателем преломления п1в виде:

2.54

а для оболочки с п2, в виде:

(2.55)

решения (2.54) и (2.55) дают возможность изучить условия распростра­нения волн в ступенчатом ОВ. В решениях (2.54) и (2.55) Ат Вт Ст и Dm - постоянные ин­тегрирования; Jn, Nn - функции Бесселя первого и второго рода п-то порядка, соответствен­но; In и Кn — видоизмененные (модифицированные) функции Бесселя первого и второго рода и-го порядка, соответственно.

При r—>0 значение Nn—> -со. Но так как поле на оси сердцевины не может приобретать бесконечные значения, то необходимо положить Вт=0. Поле за пределами сердцевины должно убывать в радиальном направлении и при г—>оо должно стремиться к нулю. Однако In при этом стремится к бесконечности, что противоречит условию Зоммерфельда. Следова­тельно, надо положить С„= 0, так как нас интересуют только направляемые моды вдоль оси z. Таким образом, функция Jn(χ1r) описывает распределение поля внутри сердцевины ОВ, а функция Кп(а2r) описывает изменение поля за ее пределами (в среде с п2) и ведет себя при больших значениях а2г как ехр(-а2r). Тогда уравнения (2.54) и (2.55) перепишутся в виде(2.56 2.57):==================================

Постоянные интегрирования Ат и Dm могут быть определены на основании граничных условий. Поперечные составляющие электрических Еr Еφ и маг­нитных Нr, Нφ полей могут быть выражены с помощью известных соотношений между поперечными и продольными Ez, Hz составляющими. Тогда, используя условие равенства тангенцианальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердцевина - оболочка (при r=а):

(2.58)

найдем постоянные интегрирования. Подставим их в уравнения типа (2.56) и (2.57), и после соответствующих преобразований получим следующее характеристическое уравнение:

(2.59)

Это уравнение позволяет определить структуру поля, параметры волн и характеристики ОВ. В общем случае оно имеет ряд решеняй, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны, или модой. Обычно в ступенчатых ОВ, применяемых для линий передачи сигналов, п1 п2. Тогда уравнение (2.59) можно переписать в виде:

(2.60)

В ступенчатом ОВ отсечка моды (критические условия) наступает при равенстве попе­речного волнового числа в оболочке –a2=0, это возможно при β =k2- При этом условии из (2.60) следует, что

(2.61)

Отсюда видно, что низшая основная мода (п=0) имеет отсечку, определяемую из урав­нения:

 

Первый корень этого характеристического уравнения χ1а = 0, и он соответствует моде НЕ11. В соответствии с решением (2.54) и (2.55) эта волна существует в виде двух взаимных ортогональных поляризаций НЕ11rг и НЕ11в, соответствующих cos φ и sin φ.(2.21). Вторая в порядке возбуж­дения мода для n=0 отсекается, когда функция J1(χ1r) второй раз становится равной нулю, т.е. когда χ1a=3,83. Эта мода обозначается НЕ12. Aналогично для n = 0 следуют моды НЕ13, НЕ14….

В приведенных обозначениях мод первый индекс учитывает порядок функции, второй -номер корня (порядок решения), удовлетворяющего граничным условиям для данного по­рядка функции Бесселя.

Следующая совокупность мод соответствует n= 1 или характеристическому уравнению:J0(χ1r)=0

Первым корнем этого уравнения является χ1а = 2,405. Ему соответствуют две волны Н01и Е01.. Второму корню уравнения соответствует следующая пара мод Н02 и Е02 и т.д.Таким образом, функции Бесселя первого рода n-го порядка дают бесконечное число корней. Причем корни функции:J0(χ1a) определяют структуру поля симметричных волн (Е0m H0m), a Jn(χ1a) при n 0 структуру несимметричных гибридных волн (ЕНnm, НЕnm). В индексе моды n - число изменений поля по диаметру, a m- число изменений поля по пери­метру сердцевины ОВ.

Все составляющие эл/магн поля в волноводе обычно опр-ют через сост-щие и :

-относ. диэлектрич. проницаемость среды; n – пок - ль преломления

, -круговая частота; -продольная постоянная распространения

При малом относительном изменении диэл. проницаемости на длине волны можно считать . При этом система распадается на независимых однородных диф. уравнения второго порядка:

, где -ф-ия пропорциональная или .

Решая уравнение можно получить в явном виде соотношение для определения называемое дисперсионным уравнением. В общем случае уравнение имеет q корней каждому из которых соотв. Определенное решение уравнений, называемое собственным, а в электродинамике – собственным типом волны или модой. Решая дисперсионное ур-ние для каждой частоты, можно определить зависимость - дисперс. хар-ку моды.

Дисперсионные хар-ки для нескольких первых мод в волоконном световоде однородном двухслойном со ступенчатым профилем показателя преломления (постоянное по радиусу значение) приведены на рис. - нормированная частота.

- радиус сердечника.

- волновое число в свободном пространстве.

Область разрешенных значений постоянных распространения зависит от значения показателя преломления сердечника и оболочки . Равенство -условия частоты отсечки. На ч-те отсечки поле выходит из серд-ка световода. Ч-та отсечки осн. моды HE₁₁ равна нулю. Мода HE₁₁ - двукратно вырожденная по поляризации, т.к. в круглом световоде все ориентации вектора Е эквивалентны, вследствии чего могут сущ-ть моды со взаимно перпендикул. поляризацией и одинаковым волновым числом. Эллиптичность сердечника приводит к снятию данного вырождения. Если на заданной раб. ч-те параметры световода выбрать так, чтобы следующие высшие моды ТE₀₁, ТМ₀₁, HE₂₁ с более высокими ч-ми отсечки не могли распр-ся, то получим одномодовый световод.В этом случае должно вып-ться условие одномодовости: . Из анализа выр-я видно, что для увеличения размеров сердечника круглого световода в одномодовом режиме желательно брать малое значение разности пок-лей преломления. Поэтому на практике беруться световоды с малой разностью пок-лей преломления сердечника и оболочки

 

31. Дисперсійні залежності ВС зі ступінчатим профілем показника заломлення

Дисперсионные характеристики для нескольких первых мод в волоконном световоде со ступенчатым профилем приведены на рис. 1.5. Область разрешенных значений постоянной распространения р зависит от значений показателя преломления сердечника и оболочки: n₂ ≤β/k≤n₁. Равенство β/k = n₂ представляет собой условие частот отсечки. На частоте отсечки поле выходит из сердечника световода. Частота отсечки основной моды НЕ₁₁ равна нулю. Мода НЕ₁₁ является двукратно вырожденной по поляризации, так как в круглом световоде все ориентации вектора Е эквивалентны, вследствие чего могут существовать моды со взаимно перпендикулярной поляризацией и одинаковым волновым числом. Эллиптичность сердечника приводит к снятию этого вырождения.

Если на заданной рабочей частоте параметры световода выбрать так, чтобы следующие высшие моды ТЕ₀₁, ТМ₀₁ НЕ₂₁ с более высокими частотами отсечки не могли распространяться, то получим одномодовый световод, т. е. световод с одной только распространяющейся модой НЕ₁₁. В этом случае должно выполняться условие одномодовости

2,405 > (2πα/λ) (n₁²- n₂²) ^1/2 = V.(1.5)

Из анализа выражения (1.5) видно, что для увеличения размеров сердечника круглого световода в одномодовом режиме желательно брать малое значение разности показателей преломления. Поэтому на практике используют световоды с малой разностью показателей преломления сердечника и оболочки: Δ₁ = n₁ - n₂ = 0,005…0,03.

В ступенчатых световодах при многомодовой передаче доминирует модовая дисперсия, достигающая больших значений (20…50 нс/км)

В одномодовых ступенчатых световодах отсутствует модовая дисперсия. Здесь проявляется волноводная и материальная дисперсия, но они почти равны по абсолютной величине и противоположны по фазе в широком спектральном диапазоне в силу этого происходит их взаимная компенсация и результирующая дисперсия при = 1,2…1.7 мкм не превышает 1 нс/км.

 

Вид дисперсии	Причина дисперсии	Ступенчатый профиль	Градиентный профиль
Многомодовое волокно	Одномодовое волокно
Модовая или волноводная	Постоянная распространения моды зависит от частоты	Малое значение	Возможно взаимная компенсация	Малое значение
Межмодовая	Разные моды имеют разные групповые скорости распространения	20…50 нс/км	-	0,1…0,3 нс/км (лазер); 2…4 нс/км (светодиод)
Материальная	Показатель преломления материала световода зависит от частоты	2…5 нс/км	0,1…..2 нс/км
Полоса частот	Десятки мегагерц	Тысячи мегагерц	Сотни мегагерц