О понятии действительных чисел

ГЛАВА I

Математический формализм

§1 О понятии действительных чисел

1.1 Формализм натуральных чисел.

Человек обладает способностью образно различать количества предметов и представлять количественные образы в знаковой или символьной системе. Эта способность отражает свойство нашего интеллекта, а соответствующая символьная реализация называется натуральным рядом. Проанализируем процесс построения натурального ряда. Для этого вначале построим файл, определяющий эмпирические, то есть опытные, способности человека, на которых основана интересующая нас символьная формализация.

 

Ф.1.

Эмпирические свойства, предопределяющие структуру натурального ряда.

1^о. Любой объект может быть выбран начальным элементом перечисления.

2^о. Для любого количества перечисленных элементов определено единственное следующее за ним количество.

3^о. начальному элементу не предшествует никакое количество.

4^о. Двум одинаковым количествам предшествуют два одинаковых количества.

5^о. Построенное множество количеств однозначно в том смысле, что все другие построенные таким образом количества совпадают и могут отличаться только символьными системами.

 

Теперь займемся формализацией сформулированных свойств. Это означает, что требуется построить систему аксиом (правил), отражающих операции 1^о-5^о в символьной форме.

Дадим символьную реализацию операций 1^о-5^о. Свойство 1^о позволяет выбрать первый элемент, обозначим его 1. Свойство 2^о устанавливает операцию следования на множестве элементов. Эту операцию представим в виде схемы

… → x → s(x) → …                                                                                      (1)

Заметим, что свойству 1 также удовлетворяет схема

… → x → s(x) → …

… → y                                                                                                        (2)

Свойство 4^о указывает, что схема (2) реализоваться не может. Свойство 3^о устанавливает первый элемент, и мы приходим к линейной цепочке

1 → s(1) → … → x → s(x) → …                                                               (3)

Наконец, свойство 5^о утверждает, что всякая другая линейная цепочка со свойствами 1^о-4^о будет отличаться только знаковой системой

1 → a → … → b → g → …

Приведем в немного измененном виде систему аксиом Джузеппе Пеано (1858-1932), формализующую построение цепочки (3). При этом каждую аксиому сформулируем подробно и представим кратко на языке символов формальной логики.

 

Ф.2.

Структура натурального ряда.

Множество, элементы которого удовлетворяют следующим свойствам 1^о-5^о, имеет структуру линейной цепочки (3) и называется натуральным рядом N.

1^о. Некоторый элемент называется первым и обозначается символом 1:

$ x (x:= 1).

2^о. Для всякого элемента x существует единственный элемент S(x) следующий за x:

"x $ y (y = S(x))

"x, y (y = x Þ S(x) = S(y)).

3^о. Единице не предшествует никакой элемент:

"x (S(x) ¹ 1)

4^о. Всякому элементу предшествует единственный элемент:

          "x, y (S(x) = S(y) Þ x=y)

5^о. Аксиома индукции. Пусть подмножество ΜÌΝ содержит 1, и для его элементов x выполняются свойства 2^о-4^о (обозначим выполнение свойств 1^о-4^о T(x)). Тогда Ν Ì Μ.

"x (xÎM)L(T(x)) Þ M=N

 

Заметим, что далеко не все свойства, “приписываемые” натуральному ряду, следуют из этой аксиоматики. Рассмотрим модель натурального ряда, предложенную норвежским математиком Торальфом Сколемом (1887-1963). К линейной цепочке (3) добавляются последовательности блоков вида

…→ a_-2 → α_-1 → α_-0 → α₁ → a₂ → …

тогда в новой цепочке найдутся новые элементы, которые нельзя представить в виде конечного числа операций S. То есть, некоторые элементы “y” модели Сколема не удовлетворяют условию

y = S (S (…S(1))),

где S (S (…S(1))) - конечное число композиций.

Такие элементы y назовем недостижимыми.

С другой стороны, в десятичной символьной модели натурального ряда
1, 2, 3, …, n, n+1, …, свойство конечной достижимости выполняется, т.к. десятичная запись содержит информацию о порядке числа. Десятичная система использует конечный цифровой алфавит 0, 1, 2, …, 9. Суть построения символа целого числа в этой системе в том, что вводятся операции сложения и умножения, и закон записи имеет вид "a Î N

a = a_na_n-1…a₁a₀  = a_n˙10ⁿ + a_n-1˙10^n-1 + …+ a_1˙10 + a₀ ,

где a₀, a₁, …, a_nÎ(0, 1, …, 9)Ù(a_n ¹0).

Поскольку операции сложения и умножения ранее не фигурировали в модели Ф.2, то следует добавить аксиомы, определяющие свойства этих операций. Добавляя новые операции вместе с определяющими их аксиомами, мы не только расширяем свойства натурального ряда, но и расширяем само множество натуральных чисел. Рассмотрим этот процесс подробнее.