Перехід від двійкової до вісімкової і шістнадцяткової систем

1.3.6. Перехід від двійкової до вісімкової і шістнадцяткової систем

Для переводу цілого числа з двійкової системи до вісімкової його попередньо треба розбити на тріади, а потім кожну тріаду замінити відповідною цифрою вісімкової системи:

(1000111010101) ₂

1 000 111 010 101

1 0 7 2 5

(10725) ₈

Щоб перейти до шістнадцяткової системи треба зробити так само, тільки ділити потрібно не на тріади, а на тетради, і замінювати їх шістнадцятковою цифрою:

(1000111010101) ₂

1 0001 1101 0101

1 1 D 5

(11D5)₁₆

Цілком очевидно, що діючи у зворотному порядку, можна переходити від вісімкової і шістнадцяткової системи до двійкової. Такий суто механічний перехід  є можливим завдяки тому, що основи цих систем мають спільне кратне 2. Якщо порівняти записи одного і того ж числа в різних системах, то зрозуміло, що шістнадцяткова система є більш економною щодо кількості використованих символів і це є  перевагою перед двійковою системою.

Приклад 2. Нехай модем передає інформацію зі швидкістю 2400 бод. Для передачі одного символу тексту потрібно передати близько 10 бітів. Таким чином, модем здатний за 1 секунду передати близько 2400/10 = 240 символів.

Приклад 3. Скільки біт достатньо для того, щоб закодувати всі букви англійського алфавіту та цифри від 0 до 9?

При визначенні кількості різноманітних комбінацій, використовуємо формулу: 2^N = кількість комбінацій, де N – це кількість біт, а основа 2 обумовлена двійковою системою числення, тобто наявністю лише двох значень (0 та 1).

Англійський алфавіт містить 26 букв + 10 цифр від 0 до 9. тобто комбінацій має бути 36. Тоді 2^х ≥ 36. Таким чином х = 6.

1.3.7. Причини використання двійкової системи числення в комп’ютерах

Обчислювальна машина є технічний пристрій, представлення чисел у якому пов’язане з конкретною фізичною реалізацією його елементів. Найпростішою, а значить найдешевшою і найнадійнішою є конструкція комп’ютера, в якому для представлення чисел використовується двійкова система числення.

Дійсно, алфавіт двійкової системи має тільки дві цифри, а це означає, що біт можна моделювати за допомогою фізичного пристрою, який може знаходитися у двох стійких станах. Прикладами можуть слугувати звичайний електричний вимикач, який  має два стани «увімкнуто» і «вимкнено»;  електронний прилад тріод, що пропускає електричний струм, незалежно від того, чи є напруга на сітці, чи ні; феритове кільце, що може мати магнітне поле двох протилежних орієнтацій; електричний конденсатор,  обкладки  якого теж можуть бути заряджені двома протилежними способами; електромагнітнt реле, контакти якого можуть бути замкнені, або розімкнені в залежності від того, чи проходить струм через його обмотку, чи ні тощо.

На переваги двійкової системи для виконання обчислень звернув увагу ще Д.Непер (1550-1617), відомий, як автор таблиць логарифмів. Рекомендація з використання двійкової системи для побудови обчислювальних машин в літературі вперше зустрічається у французького інженера Р.Вальта (1931). До такої ж думки дійшли одночасно і незалежно німець К.Цузе (1934), американець болгарського походження Д.Атанасов (1937).

Щодо елементної бази, то перша цифрова обчислювальна машина була побудована на електромеханічних реле (К.Цузе, 1941р, Німеччина). Машина, в якій вперше було застосовано принцип електричного зберігання інформації, була побудована на електронних лампах і конденсаторах (Д.Атанасов, 1942, США). В конструкції сучасних комп’ютерів використовують напівпровідники. Теоретично доведено, що найбільш економічними і найбільш швидкодійними були б комп’ютери, в яких була б використована система числення з основою 2,718281828....(основа натуральних логарифмів). Але технічно вони були б дуже складними. Реалізація близької до неї трійкової системи теж не спрощує конструкцію. Отже, найоптимальнішою залишається двійкова система, яка й застосовується в сучасних комп’ютерах.

Запитання для самоконтролю:

1. Що вивчає наука інформатика?

2. Що таке система числення ?

3. Які бувають системи числення?

4. Чим непозиційна система числення відрізняється від позиційної?

5. Перерахуйте основні етапи історії обчислювальної техніки.

6. В яких одиницях вимірюється швидкість передачі інформації?

7. Що таке біт та байт?

8. Поясніть основні правила переведення чисел з системи числення з основою р у десяткову систему.

9. Чому в комп’ютерах застосовується двійкова система числення?

Задачі для розв’язування:

1. Запишіть числа (324)₈ , (10101011)₂ , (AD1F)₁₆ , у десятковій системі числення.

2. Переведіть число 325 у двійкову, вісімкову і шістнадцяткову системи числення.

3. Переведіть числа 0,5625, 0,3 у двійкову систему числення.

4. Виконати дії над числами, заданими у двійковій системі числення:

(10001)₂ + (100011)₂, (1011)₂ + (11)₂ , (10101001)₂ - (11011)₂ .

5. Число (1011101100001)₂ помножити на 8.

6. Запишіть число (1011101100001)₂ у вісімковій і шістнадцятковій системі.

7. Виконати дії над числами, заданими у двійковій системі числення:

(101111)₂ + (100011)₂, (111)₂ + (11)₂ , (1010101)₂ - (1101)₂ .

8. Запишіть число 111 у вісімковій і шістнадцятковій системі.

9. Переведіть числа 325 та 125 у двійкову, вісімкову і шістнадцяткову системи числення.

10. Переведіть числа 0,8725, 0,5 у двійкову систему числення.

11. Запишіть числа (124)₈ , (11101011)₂ , (С1F)₁₆ , у десятковій системі числення.