Несобственный интеграл второго рода

 

Пусть функция  интегрируема на любом конечном промежутке , а точка  является особой точкой функции  (например ). Тогда несобственным интегралом от функции по промежутку  называют  и обозначают так же, как и определённый интеграл . Если указанный предел существует, то несобственный интеграл сходится, в противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

 

В частности, если существует первообразная функции на промежутке интегрирования , тогда  = = = = = = , где подстановка в точке означает вычисление .

        

Пример.Вычислим . Так как при , то рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом второго рода и, по определению,  = (применим правило Лопиталя) = = =  

– = .

Следовательно, рассматриваемый интеграл сходится и равен –1.

Если же особой точкой функции  является точка , тогда  = = . Например, = = =  и этот интеграл расходится.

    Если особая точка  лежит внутри промежутка интегрирования , тогда, по определению, несобственный интеграл

 =  + .

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1, Т.2/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 2003.– 460с.

2. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие/ Н.М.Матвеев. – СПб.: Издательство «Лань», 2003.–832с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов. В 2 т.Т.1. и Т.2./ Н.С. Пискунов.  – М.: Интеграл-Пресс, 2002.- 415 с. и 544с.

4. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник в 3-х т. / Г. М. Фихтенгольц. - 9-е изд., стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009.–608,800, 672с.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

  Введение                                                                                   3

 Задания к контрольной работе 1                                                     4

Методические указания к контрольной работе 1                           11

    Определители                                                                           13

              1. Определитель второго порядка                                 14

              2. Определитель третьего порядка                                          14

              3. Определители более высокого порядка                              15

    Обратная матрица                                                                    15

    Решение линейных систем с помощью обратной матрицы             18

    Таблица производных основных элементарных функций              36

    Производные более высокого порядка                                   38

    Дифференциал и его свойства                                            40

 Задания контрольной работы 2                                                      41

Методические указания к контрольной работе 2                           47

Экстремум функции двух переменных                                   62

Таблица неопределенных интегралов                                     65

Свойства определенного интеграла                                                 69

Методы интегрирования                                                          70

Список литературы                                                                 75