Таблица неопределённых интегралов

1. ;

 

2. ;

 

3. , в частности ;

 

4. ; 

 

5. ; 

6. ;

 

7. ; 

 

8. , в частности ; 

 

9. , в частности ; 

 

10. .

        

Докажем равенство 10. По определению первообразной нужно доказать, что производная правой части этого равенства равна подинтегральной функции. Действительно, имеем   = = =  = = .

        

Пример. Вычислим . Поделив числитель подинтегральной дроби на знаменатель, а затем, применив свойство линейности неопределённого интеграла, получаем равенства = = = +  –   

+  =  – + .

    Формула интегрирования по частям.Если – непрерывно дифференцируемые функции, тогда справедливо равенство

 

,                          (11)

которое называют формулой интегрирования по частям.

Рассмотрим интегралы, которые вычисляются только с помощью этой формулы.        

1. Интегралы вида , , , где – полином степени , вычисляются – кратным интегрированием по частям (формула интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень полинома). При этом полагают , , либо , либо . При каждом интегрировании по частям степень полинома уменьшается на единицу.

    Пример. Вычислим . Воспользовавшись формулой (10), получим =  = =  – = (применим ещё раз формулу (11)) =  = –  

+ =  + .

 

2. Интегралы вида  вычисляются – кратным интегрированием по частям (формула интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень логарифма). При этом полагают , . При каждом интегрировании по частям степень логарифма уменьшается на единицу.

        

Пример.Вычислим с помощью формулы интегрирования по частям =  =  –

–  = (применим опять формулу интегрирования по

частям) = = – 2  = –  +

+  =  –  +  + .

 

3. Интегралы, в которых под знаком интеграла находятся обратные тригонометрические функции, тоже вычисляются интегрированием по частям. Это интегралы вида , , , . При вычислении этих интегралов за  обозначают обратные тригонометрические функции.

Пример.Вычислим = = – = – = – = = – = – + – .

 

Замена переменной в неопределённом интеграле. Пусть функция  непрерывно дифференцируема, а функция непрерывна, тогда справедливо равенство , которое называют формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Пример. Для вычисления  сделаем замену , , тогда получим  =  = = = = =  

+ .

Пример. Для вычисления  сделаем замену , , , тогда получим  = = = = = = =  =  – .

 

Задание 7.Пусть функция определена на промежутке . Точки  такие, что  называют разбиением промежутка . Число , , , называют рангом разбиения . Выберем произвольным образом точек . Сумму называют интегральной суммой для функции на промежутке , соответствующей данному разбиению.

Определение.Определённым интегралом от функции по промежутку  называют предел интегральных сумм, когда ранг разбиения стремится к 0. Определённый интеграл от функции по промежутку обозначают . Следовательно, = . Если определённый интеграл существует, то говорят, что функция интегрируема на промежутке .