Свойства определённого интеграла

Свойства определённого интеграла

1. Если функция непрерывна на промежутке , тогда интегрируема на этом промежутке.

2. Если функция непрерывна на промежутке , за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, тогда интегрируема на этом промежутке.

3. Линейность определённого интеграла. Для любых постоянных  

справедливо равенство = .

4. Аддитивность. Если  тогда .

5. . 6). Если на промежутке , тогда  (функциональные неравенства можно интегрировать).

        

Формула Ньютона–Лейбница.Если функция непрерывна на промежутке , тогда у этой функции на промежутке  существует первообразная и выполняется равенство

Методы интегрирования

1. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Пусть функции – непрерывно дифференцируемые функции на промежутке , тогда справедливо равенство

.                          (12)

Равенство (12) называют формулой интегрирования по частям. Рассмотрим некоторые примеры вычисления определённых интегралов при помощи этой формулы. Основные типы интегралов, которые вычисляются только с помощью интегрирования по частям, уже были рассмотрены в примерах к предыдущему заданию. В этом пункте рассмотрим дополнительно ещё несколько интегралов такого вида.

    Пример.Вычислим . Применив формулу (11), получим  = = –  = – = (применим ещё раз формулу (11)) = = –

– =  – – .

Следовательно, получили уравнение относительно исходного интеграла – , из которого находим, что или  =  = .

Пример.Вычислим с помощью формулы интегрирования по частям  (применим ещё раз формулу интегрирования по частям) =

=  =  =

        

2. Замена переменной в определённом интеграле. Пусть функция непрерывна на промежутке ,  непрерывно дифференцируема на промежутке  и  Тогда справедливо равенство

.                             (13)

    Пример.Вычислим интеграл  с помощью формулы (13). Сделаем в этом интеграле замену переменной , тогда , . Продифференцировав последнее равенство, получим  или . Пределы интегрирования по новой переменной находим из формулы замены , подставляя сначала нижний предел интегрирования , а затем верхний предел интегрирования . После этой замены получаем  = = = = =  = .