Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

4.1 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Cоставляется квадратная матрица Гурвица размерностью _nxn. Первая строка матрицы Гурвица составляется из коэффициентов уравнения , начиная со второго, через один. Вторая строка составляется из коэффициентов уравнения , начиная с первого, через один. Элементы каждой последующей строки формируются из коэффициентов, имеющих индекс на единицу ниже индекса элемента в соответствующем столбце вышележащей строки.

Определение. Чтобы линейная система уравнений была устойчива, необходимо и достаточно положительности диагональных миноров матрицы Гурвица при условии >0.

Составим миноры матрицы Гурвица для собственного оператора системы .

Т.к. все определители матрицы Гурвица больше нуля, то система устойчива.

Запас устойчивости смотрим по минору

4.2 Частотный критерий Михайлова

   Для устойчивости линейной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на действительной, положительной полуоси при изменении w от 0 до бесконечности, последовательно, в положительном направлении (против часовой стрелки) обходил n квадрантов, где n- порядок характеристического уравнения.

Собственный оператор системы

Построим годограф Михайлова с помощью Octave:

figure (1)

a0 = 1;

a1 = 0.5015;

a2 = 0.5885;

a3 =0.015;

Re=[];Im=[];

 for w=0.01:0.01:10,

Njw= a3*((w*j)^3)+a2*((w*j)^2)+a1*(w*j)+(a0);

Re = real(Njw);

Im = imag(Njw);

plot(Re, Im, 'k.')

xlabel('Re(W)')

ylabel('Im(W)')

hold on

grid on

 axis([-60 10 -10 2])

end

end

Рисунок 3- Годограф Михайлова для собственного оператора объекта управления(для разных масштабов)

Полученная система при нулевом возмущающем воздействии является устойчивой, так как соблюдается последовательность прохождения квадрантов.

Для критерия Михайлова запасом устойчивости является удаленность годографа D(jω) от начала координат, годограф проходит близко от начала координат, т.е. запас устойчивости есть, но очень маленький.

Определение устойчивости объекта управления разными способами дало одинаковый результат (система устойчива с крайне малым запасом устойчивости)