Исследование объекта управления на устойчивость

ВВЕДЕНИЕ

ТАУ (теория автоматического управления) – научная дисциплина, предназначенная для разработки общих принципов автоматического управления, а также матодов анализа и синтеза системы.

Современные системы автоматического управления (САУ) представляют собой сложные комплексы взаимодействующих технологических устройств и элементов, работа которых основана на различных физических принципах. Различно также их конструктивное выполнение и технологические характеристики.

Несмотря на многообразие САУ и входящих в них элементов, последние могут быть сведены к нескольким основным типам, различающимся по назначению и взаимодействию в системах управления (СУ).

Целью курсовой работы является приобретение знаний и навыков в области автоматики. Необходимо уметь: понимать устройство и принципы действия систем автоматического управления (САУ), определять характеристики объектов управления и элементов САУ, оценивать качество работы САУ по устойчивости и показателям переходных процессов, определять значения настроечных параметров САУ, обеспечивающих требуемое качество работы САУ.

В качестве исходных данных для курсовой работы приняты параметры элементов и устройств, входящих в данную систему.

 

Основными задачами курсовой работы являются :

· составление по принципиальной схеме функциональной схемы;

· составление математической модели в форме структурной схемы;

· исследование системы на устойчивость необходимыми критериями;

· построение переходных процессов для анализа качества процесса регулирования системы;

· оценка точности процесса регулирования.

 

 

1. Приведение структурной схемы к одноконтурной САУ

 

Типовая одноконтурная система автоматического управления.

 

x (t )

f (t )

+

+

+

y (t )

-

Wo ( p)

Wp ( p)

 

+

Структурная схема регулятора.

 

p

 

 

 

 

  

0.9 p +1

 

W₆ (p)=k₁+W₁(p)=2 +  =

W_p(p) = W₆(p)· W₃(p) =  · = ·

4 p +1

0.9 p2 + p

Структурная схема объекта

 

+

 

 

-

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

Типовая одноконтурная схема

2 p + 1

0.02 p2 + p

f (t )

x (t )+

+  y (t )

 

+

-

 

Линейное дифференциальное уравнение объекта управления по передаточной функции объекта управления.

Передаточная функция объекта управления.

 

Линейное дифференциальное уравнение объекта управления.

 

 

 

Приводим дифференциальное уравнение к стандартной форме записи.

 

 

 

 

Стандартная форма записи дифференциального уравнения:

 

 

 

Передаточная функция объекта управления по стандартной форме записи дифференциального уравнения.

 

Wo ( p) =

0.51 +0.231p+0.3

 

 

0.231 p3 + 1.45 p2 + 0.023p +1

 

Корректность преобразований верифицируем сравнением результатов реакции передаточных функций объекта управления на единичное ступенчатое воздействие.

 

Проверка проводится в системе Octave пакета Control.

 

>> wo1=tf([5.1 2.231 0.3],[2.13 1.45 0.23 10])

Transfer function 'wo1' from input 'u1' to output ...

 

       5.1 s^2 + 2.231 s + 10

 y1: ------------------------------------

2.13 s^3 + 1.45 s^2 + 0.23 s + 3

 

>> wo2=tf([0.51 0.231 1],[0.231 1.45 0.023 0.3])

 

Transfer function 'wo2' from input 'u1' to output ...

 

      0.51 s^2 + 0.231 s + 1

 y1: -------------------------------------

0.231 s^3 + 1.45 s^2 + 0.023 s + 0.3

 

step(wo1)

Рисунок 2. График передаточной функции объекта управления

step(wo2)

Рисунок 3. График передаточной функции объекта управления

 

Анализ полученных графиков показал полное совпадение переходных характеристик, следовательно, преобразования выполнены корректно.

 

Математическое описание объекта управления через нули полюса и коэффициенты усиления системы.

 

Передаточная функция объекта управления, полученная по стандартной форме линейного дифференциального уравнения объекта управления.

 

Wo ( p) =

0.51 +0.231p+1

 

 

0.231 p3 + 0.45 p2 + 0.023p +0.3

 

В числители и знаменатели передаточной функции записаны полиномы. Корни знаменателя называются полюсами, корни числителя нулями. В общем виде математическое описание объекта управления через нули полюса и коэффициенты усиления системы имеет вид.

 

W ( p) = k

( p - Zm )( p - Zm-1 )...( p - Z1 )

 

 

o                   ( p - N

)( p - N )...( p - N )

n                   n-1                       1

Коэффициент усиления системы

k = am

bn

= 0.287   = 114,8

0.0025

Корни числителя и знаменателя найдём, используя систему Octave пакета Control.

pkg load control

>> wo2=tf([0.51 0.231 1],[0.231 1.45 0.023 0.3]

Transfer function 'wo1' from input 'u1' to output ...

      0.51 s^2 + 0.231 s + 1

 y1: -------------------------------------

0.231 s^3 + 1.45 s^2 + 0.023 s + 0.3

Continuous-time model.

>> pole(wo1)

ans =

-49.95816 + 0.00000i

-0.22092 + 2.82097i

-0.22092 - 2.82097i

>> zero(wo1)

ans =

-0.38321

-0.20913

 

Математическое описание объекта управления в виде модели пространства состояния.

Уравнения состояния – система дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме Коши.

 

 

Где:

u (t ) - вектор состояния;

x(t ), y (t ) - векторы входа и выхода системы;

A - матрица коэффициентов;

B -  матрица управления;

C - матрица выхода;

D - матрица, характеризующая связь входного сигнала с выходным.

Сущность данной формы представления заключается в том, что дифференциальное уравнение n -го порядка записывается в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Процедура преобразования дифференциального уравнения n -го порядка в векторно – матричное уравнение, состоящее из n дифференциальных уравнений первого порядка, осуществляется путём введения дополнительных переменных. Эти дополнительные называются переменными состояния системы, объекта.

Структурная схема непрерывной линейной системы, представленной в виде переменных состояний.

 

x (t )

+

u (t )

+

A

B

C

+

p

 

 

 

 

 

u (t )

+ y (t )

 

 

 

Передаточная функция системы по задающему воздействию.

Структурная схема типовой одноконтурной системы управления по задающему воздействию.

 

x (t )+

y (t )

 

-

0.51 p2 +0.231 p + 1

 0.231 p3 + 1.45 p2 + 0.023p +0.3

2 p + 1

0.02 p2 +1

Где:

Wp ( p) =

2 p +1 -

0.02 p2 + p

передаточная функция регулятора.

Wo ( p) =

0.51 p2 +0.231 p + 1

 0.231 p3 + 1.45 p2 + 0.023p +0.3

передаточная функция объекта

управления по стандартной форме записи дифференциального уравнения. Передаточную функцию типовой одноконтурной системы управления по задающему воздействию найдем по выражению.

Wp ( p)Wo ( p)

Wзв ( p) = 1+ W

p ( p)Wo

( p)

D

 

 

u (0)

 

Используя систему Octave пакета Control.

>> wp=tf([2 1],[0.02 0 1])

Transfer function 'wp' from input 'u1' to output ...

2 s + 1 y1: ------------

0.02 s^2 + 1

Continuous-time model.

 

>> wo=tf([0.51 0.231 1],[0.231 1.45 0.023 0.3]

Transfer function 'wo' from input 'u1' to output ...

 

      0.51 s^2 + 0.231 s + 1

 y1: -------------------------------------

0.231 s^3 + 1.45 s^2 + 0.023 s + 0.3

Continuous-time model

.>> wzv=feedback(w1*w2,1)

 

Передаточная            функция типовой          одноконтурной         системы                     управления          по возмущающему воздействию.

 

f (t )+

y (t )

 

 

 

 

-

0.8078 p + 0.2308

0.0135 p3 + 0.6823 p2 + 0.4631p +1

2 p + 1

0.02 p2 +1

Передаточная функция системы в цепи обратной связи.

Wцос ( p) = Wp ( p)Wo ( p)

 

>> woc=wo*wp

Transfer function 'woc' from input 'u1' to output ...

 

              0.574 s^3 + 0.627 s^2 + 0.216 s + 0.023

 y1: ------------------------------------------------------------------

5e-005 s^5 + 0.00252 s^4 + 0.004004 s^3 + 0.146 s^2 + 0.0752 s + 1

 

Continuous-time model.

 

Передаточная функция системы по возмущающему воздействию.