Математическое обоснование эффекта

Г.В.Трещалов обращает внимание на следующее обстоятельство.

Как известно, кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, а потенциальная линейно зависит от перепада высот.

В случае потока «масса» определяется удельным массовым расходом потока за единицу времени:

m' = ρ · v · S (1)

где m' — масса жидкости, проходящая через сечение S за единицу времени; ρ — удельная плотность этой жидкости; v — её скорость.

Поскольку расходу энергии за единицу времени в физике соответствует понятие мощности, то для потока в нашем случае удобно перейти от «энергетического» вида формул к «мощностному»:

W_K = ρ · v · S · v² / 2 (2)

W _П = ρ · v · S · g · Δ h (3),

где W_K — «кинетическая мощность» потока, обусловленная его скоростью; ρ — его удельная плотность; S — площадь сечения этого потока; v — его скорость; W_П — «потенциальная мощность» потока, обусловленная перепадом уровней на участке потока; g — ускорение свободного падения; Δh — перепад уровней.

Здесь есть один нюанс, не влияющий на обоснование самого факта наличия эффекта, но влияющий на его количественные характеристики: что считать перепадом Δh — перепад уровней поверхности потока или перепад уровней, который испытывает центр масс потока (для потока прямоугольного сечения неизменной ширины изменение уровня центра масс вдвое меньше изменения уровня поверхности)? Ответ — перепад уровней поверхности. Дело в том, что в классическом уравнении Бернулли два потециальных члена — это гравитационный потенциал, определяемый высотой центра масс, и давление, которое само по себе тоже может обеспечить разгон или подъём жидкости (об этом говорит, например, закон Торричелли). Для прямоугольного сечения потока с открытой поверхностью оба этих члена совпадают и равны ρ · g · h / 2, соответственно, при их суммировании двойка из знаменателя уходит, и потенциальная энергия такого потока определяется его полной глубиной, а её изменение — изменением полной глубины, что при неизменном уровне дна соответствует полному перепаду уровня поверхности.

Можно ли добиться снижения уровня открытого потока, чтобы получить перепад высот, и при этом не менять ни ширину русла, ни уровень дна потока? Трещалов говорит: можно, если увеличить его скорость! Тогда, в силу закона непрерывности потока, его сечение уменьшится прямо пропорционально возрастанию скорости, а поскольку ни ширина русла, ни уровень дна по условию не изменяются, то пропорционально возрастанию скорости снизится именно уровень поверхности потока:

h₁ · v₁ = h₂ · v₂ (4),

где h₁ — исходная глубина потока; v₁ — исходная (медленная) скорость потока; h₂ — уменьшенная глубина потока после его ускорения; v₂ — его скорость после ускорения.

Создания перепада уровней за счёт ускорения потока.
Индекс 1 относится к исходным параметрам потока, индекс 2 — к параметрам потока после ускорения.

Из формулы (4) можно найти возникающий перепад уровней поверхности потока Δh:

Δh = h₁ – h₂ = h₁ · (v₂ – v₁) / v₂ (5).

Также из формулы (4) можно найти и увеличенную скорость потока, необходимую для обеспечения нужного перепада уровней:

v₂ = v₁ · h₁ / (h₁ – Δh) (6).

Какую мощность, т.е. энергию в единицу времени, можно получить от потока? Она равна разности кинетических энергий до и после ускоряющего устройства плюс потенциальная энергия, высвобождающаяся при изменении уровня (всё это за единицу времени):

ΔW = W_К1 – W_К2 + W_П (7).

Если ΔW в формуле (7) будет больше 0, то от потока можно получить полезный энергетический эффект, а если меньше 0 — то придётся затратить дополнительную внешнюю энергию для того, чтобы разогнать поток до необходимой скорости. На основании формул (2) и (3) с учётом формулы (5) получаем

Δ W = ρ · v₁ · h₁ · w · (g · h₁ · (v₂ – v₁) / v₂ + (v₁² – v₂²) / 2) (8),

где w — ширина русла потока.

То же самое, но выраженное не через конечную скорость потока, а через перепад уровней:

ΔW = ρ · v₁ · h₁ · w · (g · Δh + v₁² · (1 – h₁² / (h₁ – Δh)²) / 2) (9).

По сути, каждая из этих формул представляет ΔW как функцию трёх переменных. Две из них — это исходные параметры потока (его глубина h₁ и скорость v₁), а третий параметр является одним из параметров ускоренного потока, — это перепад уровней Δh (или уменьшившаяся глубина h₂) либо увеличившаяся скорость v₂. Прочие параметры (плотность жидкости ρ и ширина русла w) являются своеобразным коэффициентом, не влияющим на знак результата, поскольку в силу своей физической природы всегда положительны.

Расчёты показывают, что при относительно небольших значениях исходной скорости и перепада уровней результат может быть положительным. При этом результаты имеют ярко выраженный экстремум как по любому из выходных параметров потока, так и по его исходной скорости, и с излишним ростом любого из них результат уходит в минус! Характер этой зависимости наглядно демонстрируют трёхмерные графики из статьи Г.В.Трещалова.

Графики из статьи Г.В.Трещалова, демонстрирующие зависимость избыточной (извлекаемой) мощности от основных параметров формулы. Слева — от создаваемого перепада уровней h, справа — от увеличенной скорости потока v₂.

Несколько иначе на результаты влияет исходная глубина потока h₁. Из формулы (9) видно, что с ростом этого параметра отрицательное влияние большого перепада высот несколько отодвигается, а абсолютная мощность однозначно растёт. Поэтому чем глубже поток, тем большего выигрыша можно ожидать!

Графики из статьи Г.В.Трещалова, демонстрирующие зависимость избыточной (извлекаемой) мощности от создаваемого перепада уровней h и исходной глубины потока h₁.

Проводя дальнейший анализ оптимальных условий, Г.В.Трещалов получает формулу оптимальной глубины выходного потока

h₂ = ³√(v₁² · h₁² / g) (10).

Эта формула эквивалента формуле для так называемой «критической глубины» потока, приводимой в книгах по гидравлике, — то есть глубине русла, которая обеспечивает граничное состояние потока между спокойным и бурным типами течений при заданных расходе и ширине потока. Кстати, ярко выраженный минимум коэффициента гидравлических потерь на графике Никурадзе с экспериментальными данными скорее всего соответствует как раз этому режиму — энергия потока, текущего с заданной скоростью именно в таком состоянии минимальна, а значит, всю «избыточную» энергию исходного потока можно «безнаказано» извлечь и использовать для своих нужд!

Для обеспечения такого оптимального «критического» режима выходного потока необходимо использовать обратную связь, регулирующую перепад уровней Δh. Можно использовать для этих целей электронику и компьютерное управление, но есть и чисто механические пути решения этой задачи — гораздо более дешёвые и надёжные.

О сверхъединичности эффекта

Можно ли создать на основе эффекта Трещалова «вечный двигатель», заставив его неограниченно долго работать в замкнутом цикле? Ответ однозначный — нет!

Да, скорость выходного потока можно снизить до исходной величины и за счёт этого несколько повысить его уровень. Но даже без учёта потерь на трение этой скорости не хватит, чтобы одновременно обеспечить и исходную скорость, и исходный уровень, потому что часть полной исходной энергии потока мы изъяли в гидроагрегате на свои нужды, и именно её будет недоставать для полного восстановления исходных параметров! А ведь главным условием автономной работы в замкнутом цикле является восстановление на каждом «витке» всех параметров до значений не худших, чем эти же параметры на предыдущем «витке» в том же месте цикла.

Таким образом, при попытке замкнуть цикл, восстанавливая прежний уровень жидкости, мы, возможно, и достигнем этого уровня, но скорость потока при этом будет меньше исходной! В результате за несколько «витков» поток окончательно остановится, перестанет быть потоком, и проявиться эффекту будет просто негде. При этом уровень успокоившейся жидкости будет ниже уровня исходного «медленного» участка потока, но выше его «ускоренного» участка в момент начала работы.

В чём же тогда польза этого эффекта, в чём его физическая сущность?

Физические аспекты эффекта

Итак, как мы только что выяснили, эффект Трещалова не будет работать в замкнутом цикле, он проявляется только в открытой системе — в потоке, который не замкнут сам на себя. И физическая суть его заключается в том, что таким образом часть потенциальной энергии потока мы высвобождаем и превращаем в кинетическую, а добиваясь их энергетически оптимального соотношения, часть этой высвобожденной энергии мы можем забрать на свои нужды.