Электрический ток. Сила и плотность тока.

Электрическим током называетсяупорядоченное перемещение электрических зарядов. За направление электрического тока условно принимают направление упорядоченного движения положительных зарядов.

Различают два вида электрических токов – токи проводимости и конвекционные токи. Током проводимости называют упорядоченное движение в веществе или вакууме свободных заряженных частиц - электронов проводимости (в металлах), положительных и отрицательных ионов (в электролитах), электронов и положительных ионов (в газах), электронов проводимости и дырок (в полупроводниках), пучков электронов (в вакууме). Этот ток обусловлен тем, что в проводнике под действием приложенного электрического поля напряженностью  происходит перемещение свободных электрических зарядов. Конвекционным электрическим током называют ток, обусловленный перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела

Количественными характеристиками электрического тока служат скалярная величина сила тока, численно равная заряду, протекающему за единицу времени сквозь выбранную поверхность

I = dq / dt,                                           (1.1)

 

и векторная - плотность тока, численно равная силе тока, проходящего через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению тока

.                                              (1.2)

Направление вектора   совпадает с направлением движения положительных зарядов.

При равномерном распределении плотности тока по поверхности S

I = j ^. S.                                                (1.3)

Если скорость упорядоченного движения носителей заряда , их концентрация n ₀, заряд каждого носителя q, то

  = qn ₀ .                                           (1.4)

Единица силы тока - Ампер (А), плотности тока - А/м².

Электрический ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным. Для постоянного тока (рис 1.1)

                                                     (1.5)

Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменным. В электротехнике и электроэнергетике в основном используется синусоидальный электрический ток (рис 1.2).

 

          Рис 1.1.                                                    Рис 1.2.

 

§3. Закон Ома в интегральной форме. ЭДС. Напряжение.

 

 

Рис.3.1

т.е численно равен работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль цепи. Смысл интеграла , называемого Электродвижущей силой  (ЭДС), бозначаемая    ε (рис.3.1), есть величина, численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль цепи.

=   ε                                         (3.14)

Величину     ρ =1/ γ называют удельным сопротивлением проводника.

величину R

                                                       (3.15)

называют сопротивлением  проводника.

ЗаконОма для неоднородного участка цепи в интегральной форме или обобщённый закон Ома записывается в виде

=   ε                               (3.16)

В этой формуле перед правой частью выбирается знак «+», если направление тока на  участка 1-2 совпадает с направлением обхода участка 1-2 от точки 1 к точке 2 и знак «−», если нет; для ЭДС ε выбирается знак «+», если ЭДС способствует движению положительных зарядов в направлении обхода (в направлении 1-2), и знак «−»,если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в направлении обхода 1-2 (рис. 3.2).

 

 

 

Рис. 3.2.

 

Суммарная работа кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль участка цепи

U = ()   ε                                   (3.16)

называется напряжением на участке. В случае равенства нулю одного из слагаемых в правой части равенства (3.16) напряжение совпадает по величине либо с разностью потенциалов, либо с ЭДС. Величину IR называют падением напряжения на участке цепи.

 

 

Решение задач

 

ЗАДАЧА 9

 

 

ЗАДАЧА 10

РЕШЕНИЕ

 

 

ЗАДАЧА 11

Теоретическое введение 7

§4. Закон Джоуля-Ленца в локальной и интегральной формах.

Энергия  ω, выделяемой в единицу времени в единице объема проводника с удельной проводимостью  γ равна

ω = γ Е ² ,                                                                             (4.3)

 Здесь Е - напряжённост электрического поля в проводнике.

Эту формулу можно записать и в других формах

ω = ·  , ω =ρ j ².                                     (4.3´)

Величина ω имеет смысл удельной мощности выделяемой в объеме энергии. Очевидно, энергию, выделяемую в объеме V  проводника за время t можно найти интегрированием

.                                            (4.4)

Результат  интегрирования (4.4):

δ Q = I ² Rdt,                                                 (4.5)

где I – сила тока в цепи сопротивлением R.

§ 7. Расчет разветвленных цепей постоянного тока.

Правила Кирхгофа.

Любая сложная электрическая цепь состоит из отдельных участков, для каждого из которых можно записать уравнение закон Ома в интегральной форме. Полученная система уравнений по известным ЭДС и сопротивлениям позволяет найти токи во всех участках. В электротехнике наработано большое количество методов, упрощающих расчеты.

Расчёт разветвленных цепей постоянного тока упрощается в частности, при использовании правил Кирхгофа.

Любая точка разветвленной электрической цепи, в которой сходится не менее трех проводников тока, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла – отрицательным (рис. 7.1).

Первое правило Кирхгофа сформулировано для узла электрической цепи: алгебраическая сумма сил токов в узле электрической цепи равна нулю, т.е.

где n - число проводников, сходящихся в узле.

При указанных на рис. 7.1 направлениях токов в проводниках первое правило Кирхгофа запишется в виде

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.

Второе правило Кирхгофа вытекает из закона Ома в интегральной форме для разветвленных цепей. Допустим, в сложной электрической цепи имеется замкнутый контур, состоящий из трех участков (рис. 7.2.). Условимся обходить контур по часовой стрелке. Все токи, совпадающие по направлению с выбранным направлением обхода контура, считаются положительными. ЭДС источников считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к отдельным участкам контура закон Ома, запишем:

Складывая почленно эти уравнения, получим:

Таким образом, второе правило Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, т.е.    

где n – количество источников тока в контуре; m – число участков в контуре.

При использовании правил Кирхгофа обычно придерживаются определённой последовательности действий:

1. Произвольно выбирают направления токов в ветвях цепи, при этом учитывают, что ток в последовательно соединённых элементах одинаков. Действительные направления токов в схеме определяются после завершения расчетов: если искомый ток получился положительным, то его направление было выбрано правильно, если отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбирают направления обхода замкнутых контуров цепи (по часовой или против часовой стрелке). Произведение  положительно, если ток на данном участке совпадает по направлению с направлением обхода; ЭДС, действующие по направлению обхода, считаются положительными, против направления обхода – отрицательными.

3. Составляют столько уравнений, чтобы их число было равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей в схеме. По первому правилу Кирхгофа составляют n -1 уравнений, где n – число узлов в схеме. Остальные уравнения составляют по второму правилу Кирхгофа.

4. Для проверки расчетов составляют баланс мощности в цепи: алгебраическая сумма мощностей источников тока равна сумме мощностей, рассеиваемых в ветвях схемы, т.е.

где n - число источников тока в цепи; m – количество ветвей в схеме.

Решение задач

ЗАДАЧА 12

Исследуя с помощью производных функцию P(r) (1) на экстремум, можно убедиться, что она имеет максимум P_мак  при R=r. подставим это в (1)

 

ЗАДАЧА 13