Задача 2 (см. Теоретическое введение 1 стр. 13-17 )

 

 

ЗАДАЧА 3 (См. теоретическое введение 2 стр. 20-22)

3. Кольцо радиусом R = равномерно заряжено с линейной плотностью t Определить потенциал j точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из центра кольца, отстоящей на расстоянии h от его центра.

Решение. Разобьём кольцо на элементарные точечные заряды d q. Запишем потенциал точечного заряды d q в т. А. По (4.11)

По теореме Пифагора . Тогда

 

 ,

а потенциал, создаваемый всеми зарядами d q кольца L в т. А на перпендикуляре по  (4.11) (4.12а), равен      

 

где все величины в интеграле постоянные (кроме d q) и их можно вынести за знак интеграла

.

 

Интеграл   просто равен заряду полному q кольца q = t ∙ L = t ∙ 2 πr. Окончательно

 

ЗАДАЧА 4 (См. теоретическое введение 3 стр. 23-25)

.

4. Вычислить поле Е равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда s.

РЕШЕНИЕ.

 

Применим теорему Гаусса для определения напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. В этом случае ее поверхностная плотность заряда

одинакова в любом месте плоскости. Это означает, что линии напряженности перпендикулярны плоскости в любой точке, т.е. поле заряженной плоскости однородно (рис. 1.12).

Мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и одно из оснований проходит через интересующую нас точку. Согласно теореме Гаусса,

С другой стороны, так как линии напряженности пересекают только основания цилиндра, поток вектора  можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра, т.е.

Тогда

откуда

                                        (1.26)

Приведем (без вывода) выражения для расчета напряженности электростатического поля, создаваемого разноименно заряженными параллельными бесконечно протяженными плоскостями (поле плоского конденсатора)

                                            (1.27)

 

ЗАДАЧА 5 (См. теоретическое введение 4 стр. 27-31)

5. Вычислить поля вблизи поверхности проводника (в отсутствии и в присутствии диэлектрика). Вычислить плотность связанных зарядо σ´ на поверхности диэлектрика, прилегющей к поверхности проводника.

РЕШЕНИЕ. Применим теорему Гаусса в  присутствии диэлектрика (См формулы выше)

,                                             (3)

и

 ,                                         (5)

 Тогда                                                                                        (6)

и                                                                                                   (7)

Для электростатического поля вблизи поверхности проводника, окружённого однородным изотропным диэлектриком (рис.13.2) из(6)          

.                                                (13.1)

Выберем поверхность интегрирования в виде малого прямого цилиндра с площадью оснований S ₀₁= S ₀₂. Заряд q, заключённый внутри объёма цилиндра равен q = σ S ₀₁, а интеграл в (7) равен Е ∙ S ₀₁. Приравнивая, получим .                               (8)

В отсутствии диэлектрика

.                                (9)

Уменьшение поля (8) происходит за счет поля, создаваемого связанным зарядом σ´ на поверхности диэлектрика.

.