Практичні роботи № 39-40 Тема

MathCad і Derive. Автоматизація математичних обчислень. Дослідження функцій. Дії з матрицями.

Мета

Уміти розв'язувати найпростіші задачі математичного ана­лізу: визначати похідні, інтеграли, границі, добутки, суми значень заданої функції; виконувати дії над векторами і матрицями, розв'язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь, визначати власні числа і вектори матриці.

План

1. Автоматизація математичних обчислень.

2. Програма MathCad.

3. Програма Derive.

Теоретичні відомості

1. Автоматизація математичних обчислень. Програми для
автоматизації математичних обчислень дають змогу дослід­
жувати функції: визначати похідні різних порядків, означені та
неозначені інтеграли, границі, розклад функції у ряд Тейлора;
перетворювати вирази: розкладати на множники многочлени,
перемножувати і спрощувати вирази; будувати графіки функцій;
розв'язувати типові задачі лінійної алгебри: виконувати дії над
матрицями, визначати власні числа і власні вектори матриці,
розв'язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь; визначати
аналітичні і наближені розв'язки всіх відомих типів диферен­
ціальних рівнянь; розв'язувати задачі теорії ймовірності і
математичної статистики та багато іншого. Практично не існує
традиційних математичних задач, які не можна було би розв'я­
зати засобами цих програм.

Серед значної кількості відповідних програм — Derive, MathCad, MatLab, Maple, Matematika тощо — перші дві є най­зручнішими для початкового вивчення. Програма Matlab корисна для інженерних розрахунків, a Maple і Matematika — для наукових.

Суттєвою перевагою усіх цих програм є змога отримувати розв'язки задач в символьному (аналітичному) вигляді, чого не можна досягнути за допомогою потужних калькуляторів і засобів традиційного програмування.

2. Програма MathCad. Є багато версій програми. Нас влаш­
товує будь-яка. Після запуску програми отримаємо традиційне
Windows-вікно з головним меню, панелями інструментів, робо­
чим полем і рядком стану (рис. 70).

Рис. 70. Вікно програми MathCad з відкритими панелями інструментів

і введеними формулами.

У робочому полі червоним хрестиком позначене місце, де створюватимемо блоки. Розрізняють три типи блоків: 1) текс­товий блок, куди можна вводити будь-який текст і куди тради­ційно вводять умову задачі чи коментарі; 2) математичний блок, куди вводять математичні вирази і де генеруються результати; 3) блок, що містить графік.

Програма автоматично розпізнає типи блоків. У математич­ний блок вводять числовий, алгебраїчний чи інший математич­ний вираз, змінні та команди. Блоки спочатку є невирівняними, їх вирівнюють за допомогою команд вирівнювання у вертика­льному чи горизонтальному напрямках. Обчислення виконують­ся в математичних блоках у робочому полі зліва-направо і зверху-вниз. Блоки можна переміщати.

Правила, які потрібно запам'ятати.

1. Щоб надати значення змінній, слід натиснути на клавішу

 

268

269

із символом двокрапки (:). На екрані ця дія позначається сим­волом присвоєння (:=).

2. Щоб отримати результат обчислень числового чи іншого виразу, слід натиснути на клавішу =.

3. Щоб виконати символьне перетворення (визначити похідну, первісну, розкласти вираз на множники чи в ряд тощо), треба натиснути на комбінацію клавіш Ctrl +крапка лат. На екрані дія символьних обчислень позначається стрілкою.

4. Щоб ввести символ = в сенсі «рівно», наприклад, в рівнянні, треба натиснути Ctrl +=.

Розрізняють прості змінні (х:=3) і змінні-діапазони, наприк­лад, xl:=l, 1.5..4. Тут змінна х отримає значення 3, а змінна хі — значення 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4. Якщо крок зміни параметра діапазону 1, то пишуть коротко: xl:=1..4. Запам'ятайте правило створення діапазону: для операції:= набирайте на клавіатурі лише двокрапку (:), а для.. — набирайте лише крапку з комою (;). Ім'я змінної має починатися з букви.

Вирази складаються з чисел, змінних і функцій, з'єднаних символами операцій: * — піднесення до степеня, *, /, +, - тощо. Якщо над виразом потрібно виконати декілька дій, варто створити функцію користувача, наприклад, f(x):=x"2 - 5х + 6.

Програма намагається самостійно розпізнати, де поставити символ множення. Зазвичай це крапка, але може бути й інший символ. Вираз х"2 на екрані зображається природно х². Порядок виконання арифметичних операцій у виразі традиційний, його можна змінити за допомогою круглих дужок.

Є ще один тип присвоєння — тотожність (). Таке присвоєння надає значення змінній чи оголошує функцію глобально, тобто для всього робочого поля, не залежно від того, де розміщений відповідний математичний блок.

Символьні операції є на панелі інструментів Матаналіз (диференціювати, інтегрувати, обчислити границю, суму чи добуток) та Символи (factor — розкласти на множники, collect — погрупувати, expand — перемножити, series — розкласти в ряд, simplify — спростити, solve — розв'язати рівняння тощо.

Спочатку вводять символьну операцію, яка відповідає змісту задачі, а потім заповнюють її шаблон, замінюючи маркери на елементи формули. Зверніть увагу на вигляд формул на рис. 70. Якщо формула передбачає числовий результат, можна відразу виконати команду обчислення «■. Якщо треба отримати символь­ний результат, то виконують команду «символьне дорівнює» — Ctrl +крапка.

Певну складність для початківців створює процес запов­нення шаблону команди. Під час введення команди курсор вводу

має вигляд синього кута, який вказує на точку введення, тобто на місце, куди вводитимуть символ. Точку вводу можна змінити за допомогою клавіш зі стрілками. Щоб навчитися правильно вибирати точку вводу, потрібно якнайбільше експериментувати з клавішами-стрілками. Неправильно створені формули слід вибирати, вилучати і починати процес створення спочатку.

Є універсальний спосіб розв'язування рівнянь чи нерівнос­тей за допомогою блоку команди given-find. Спочатку записують службове слово given, далі — блоки рівнянь чи нерівностей. Наприклад, х²+у² = 25 х + у = 9 і слово find із зазначенням, що саме треба знайти: find(x,y) =. Отримаємо відповідь: 4 і 5. Зауважимо, що в системі рівнянь символи ~ є символами від­ношення, їх слід вводити комбінацією клавіш Ctrl +=. А в команді find символ = є звичною командою обчислення.

Матриці утворюють за допомогою панелі інструментів Мат­риці. Над матрицями визначені дії транспонування, додавання, віднімання, множення, обчислення визначника й оберненої матриці. Над двома векторами-стовпцями визначені операції скалярного і векторного добутків. Для матриць існують функції визначення коренів характеристичного полінома (власних чи­сел), власних векторів, сліду матриці тощо. З ними ви ознайо­митеся під час виконання роботи.

3. Програма Derive. Програма Derive існує в двох версіях: майже безплатній короткій версії для MS DOS (достатній для виконання цієї роботи) і недорогій платній версії для Windows. Принципи роботи користувача у всіх версіях програми однакові.

Розгляньте вікно програми Derive для MS Dos (рис. 71). У робочому полі всі вирази номеруються і записуються авто­матично зверху-вниз. Під робочим полем є меню, з якого можна почерпнути інформацію про можливості програми. Ось переклад основних команд меню, які використовуватимемо:

Author Calculus Differentiate Integrate Limit Product Sum Taylor Declare Expand Factor Help

— ввести вираз;

— обчислити (група команд):

— диференціювати;

— інтегрувати;

— границя;

— обчислити добуток;

— обчислити суму;

— розкласти у ряд Тейлора;

— оголосити назву функції, матриці;

— перемножити;

— розкласти на множники;

— надати допомогу;

 

270

271

Jump soLve Plot Quit Simplify Window approX

— перейти до потрібного виразу;

— прирівняти до нуля і знайти корені;

— будувати графік;

— вийти з програми;

— обчислити,спростити;

— робота з вікнами;

— наближено обчислити.

Потрібну команду вибирають, зміщуючи курсор вздовж меню за допомогою клавіші Tab. Запуск команди здійснюють клавішею Enter. Для швидкого виконання команд достатньо натискати на велику букву, яка є у назві команди, наприклад, натиснувши на клавішу С, запускають команду Calculas тощо. Вихід з команди забезпечує клавіша Esc.

Багато команд мають підменю або параметри. Навігація в підменю така ж, як і в головному меню, а ось для вибору зна­чення параметра із запропонованого списку значень потрібно натискати на клавішу пропуск.

Принцип розв'язування задач на аналітичне дослідження функції такий: спочатку за допомогою команди Author вводять вираз для функції, а потім виконують над ним потрібні команди з меню Calculas тощо. Введені та перетворені вирази і результати

з'являтимуться в основному вікні під порядковими номерами #1, #2 і т.д. На номери виразів можна посилатися у формулах. Непотрібні вирази можна вилучати.

Програма має зручний довідник, який викликають коман­дою Help. З довідника можна дізнатися, що Derive має багато стандартних математичних функцій: sin, cos, tan, log, abs, sec та інші, зокрема, обернені тригонометричні та гіперболічні (аргументи функцій беруть у круглі дужки); традиційні констан­ти: рі, #е, #і (уявна одиниця), inf (нескінченність); математичні операції: +, —, * (множення, яке можна не писати у виразах), " — піднесення до степеня,! - факторіал; бібліотеки (часто їх нема в мінімальних конфігураціях) для розв'язування різноманітних задач з курсів диференціальних рівнянь, теорії ймовірності тощо. Рекомендуємо ознайомитися з довідником і звертатися до нього під час роботи.

Вийти з програми можна за допомогою команди Quit з під­твердженням (потрібно ввести Y і натиснути клавішу Enter).

Деколи такі символи, як інтеграл, сума, основа натураль­ного логарифма та інші прорисовуються на екрані неправильно. Щоб усунути цей недолік, задайте такі значення параметрів дисплея (Options, Display): Mode - (Graphics). Reso - (High). Adapter — (VGA).

Хід роботи № 39

Результати виконання усіх пунктів занотовуйте у звіт.

1. Розминка. Дано час і швидкість руху потяга: t:=12
v:=60.5. Визначити пройдений шлях.

l.Mathcad. Створіть три математичні блоки, пам'ятаючи, що замість:= достатньо набрати двокрапку: t:=12 (натисніть Tab) v:=60.5 (натисніть Tab) v*t= — отримаєте відповідь. Натисніть Tab, Enter чи клацніть поза блоком.

2.Derive. Застосуйте команду Author і введіть перший вираз: t:= 12. Застосуйте команду Author і введіть другий вираз: v:=60.5. Введіть третій вираз vt. Спростіть третій вираз командою Simplify.

2. Уведіть вираз е^х/псо8лх, де л — номер варіанта, і
розглядайте його як деяку функцію f (x).

1.М. Введіть такі формули: n:=5  f(x):=exp(x/n)cos(5*x). 2.D. Застосуйте команду Author і введіть вираз, наприклад, такий: exp(x/5)cos(5x). Цей вираз назвемо головним. Надалі замість виразу зазначатимемо його номер, тому запам'ятайте (занотуйте) номер цього виразу.