Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Размещением из n элементов по k называется любое упорядоченное множество из k элементов, состоящее из элементов заданного n-элементного множества.
Например, из множества, содержащего три цифры {1; 5; 7}, можно составить следующие размещения из двух элементов без повторений: (1; 5), (1; 7), (5; 7), (5; 1), (7; 1), (7; 5). Количество размещений из n элементов по k обозначается (читается: «А из n по k», A — первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение, приведение в порядок»). Как видим, Выясним, сколько всего можно составить размещений из n элементов по k без повторений. Составление размещения представим себе как последовательное заполнение k мест, которые будем изображать в виде клеточек (рис. 21.1). На первое место можем выбрать один из n элементов данного множества (то есть элемент для первой клеточки можно выбрать n способами). Если элементы нельзя повторять, то на второе место можно выбрать только один элемент из оставшихся, то есть из n – 1 элементов. Теперь уже два элемента использованы и на третье место можно выбрать только один из n – 2 элементов и т. д. На k-е место можно выбрать только один из n – (k –1) = n – k +1 элементов (см. рис. 21.1). Поскольку требуется выбрать элементы и на первое место, и на второе,..., и на k-е, то используем правило произведения и получим следующую формулу числа размещений из n элементов по k: Например, (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше). Аналогично можно обосновать формулу для нахождения числа размещений с повторениями. При решении простейших комбинаторных задач важно правильно выбрать формулу, по которой будут проводиться вычисления. Для этого нужно выяснить следующее: 1. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? 2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение? Если, например, порядок следования элементов учитывается и из n данных элементов в соединении используется только k элементов, то по определению это — размещение из n элементов по k. После определения вида соединения следует также выяснить, могут ли элементы в соединении повторяться, то есть выяснить, какую формулу необходимо использовать — для количества соединений без повторений или с повторениями. Примеры решения задач: Пример: На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 × 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Решение: Количество способов выбрать из 12 спортсменок четырех для участия в эстафете равно количеству размещений из 12 элементов по 4 (без повторений), то есть Комментарий: Для выбора формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку для спортсменок важно, в каком порядке они будут бежать, то порядок при выборе элементов учитывается. В полученное соединение входят не все 12 заданных элементов. Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 12 элементов по 4 (без повторений, поскольку каждая спортсменка может бежать только на одном этапе эстафеты). Пример: Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе не повторяются. Решение: Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть Комментарий: Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок следования цифр учитывается и не все элементы выбираются (только 3 из заданных семи). Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 7 элементов по 3 (без повторений). Пример: Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, если цифры в числе не повторяются. Комментарий: Выбор формулы проводится таким же образом, как и в задаче 2. Следует учесть, что если число, составленное из трех цифр, начинается цифрой 0, то оно не считается трехзначным. Следовательно, для ответа на вопрос задачи можно сначала из заданных 7 цифр записать все числа, состоящие из 3 цифр (см. задачу 2). Затем из количества полученных чисел вычесть количество чисел, составленных из трех цифр, но начинающихся цифрой 0. В последнем случае мы фактически будем из всех цифр без нуля (их 6) составлять двузначные числа. Тогда их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2 (см. решение). Можно выполнить также непосредственное вычисление, последовательно заполняя три места в трехзначном числе и используя правило произведения. В этом случае для наглядности удобно изображать соответствующие разряды в трехзначном числе в виде клеточек, например так:
Решение: Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр (среди которых нет цифры 0), если цифры в числе не повторяются, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть Но среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 необходимо исключить те размещения, в которых первым элементом является цифра 0. Их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2, то есть Следовательно, искомое количество трехзначных чисел равно Пример: Решите уравнение Решение: ОДЗ: x ∈ N, . Тогда получаем: На ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям: (x – 2) (x – 3) = 6, x2 – 5x = 0, x (x – 5) = 0. Тогда x = 0 или x = 5. В ОДЗ входит только x = 5. Ответ: 5. Комментарий: Уравнения, в запись которых входят выражения, обозначающие количество соответствующих соединений из x элементов, считаются определенными только при натуральных значениях переменной x. Чтобы выражение имело смысл, следует выбирать натуральные значения (в этом случае также существует и, конечно, Ax 2 ≠ 0). Для преобразования уравнения используем формулы: Объяснение и обоснование:
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 70; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.116.146 (0.01 с.) |