Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема: Если случайные события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Доказательство: Пусть в данном опыте имеется n равновозможных, элементарных, несовместных событий и пусть в m случаях наступает событие А, а в l случаях-событие В. Тогда появлению события А + В благоприятствует m+l исходов. Поэтому

Следствие: Если имеется N событий, то

Следствие: Если события () образуют полную группу, то

Доказательство: Так как события образуют полную группу равно возможных, элементарных, несовместных событий, то их сумма есть достоверное событие а вероятность достоверного события равна 1.

Следствие: Вероятность суммы противоположных событий равна 1.

Доказательство: В силу того, что события А и ему противоположное событие образуют полную группу несовместных событий, то по следствию вероятность их суммы равна 1.

Замечание: Если сложное событие состоит из суммы элементарных событий, то перед применением теоремы надо определить совместны или несовместны элементарные события.

Пример:

Пусть в урне находится 5 белых шаров, 3 - красных и 4 - зеленых. Из урны наудачу вынули шар. Какова вероятность того, что данный шар цветной?

Решение:

Событие, состоящее в том, что из урны извлечен красный шар, обозначим через А. Событие, состоящее в том, что из урны извлечен зеленый шар, обозначим через В. Тогда извлечение цветного шара есть событие С. Так как события А и В несовместны, т.е. событие С состоит в том, что из урны извлечен или событие А, или событие В, то С = А + В. Используя теорему о сложении вероятностей несовместных событий, получим:

Зависимые и независимые события. Условная и безусловная вероятности

Определение: Случайные события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события называются зависимыми.

Замечание: В этом определении речь идет не о причинно-следственной связи между событиями, а о вероятностной (появление одного из них не влияет на вероятность появления другого события), которая является более общей зависимостью между событиями.

Пример №41

В хранилище находится 10 исправных и 5 неисправных приборов, причем неизвестно, какие из них исправные, а какие - нет. Обозначим событием А - из хранилища взят исправный прибор, а В - взят неисправный прибор. Пусть вначале взят неисправный прибор. Определить вероятности указанных событий с возвращением неисправного прибора на склад и без возвращения неисправного прибора в хранилище.

Решение:

Если неисправный прибор возвращается в хранилище, то события А и В независимы и их вероятности равны Во втором случае, когда неисправный прибор не возвращается на склад, общее количество приборов в хранилище изменилось и стало равным 14, причем неисправных приборов будет храниться 4. Следовательно, произошедшее событие В изменило вероятности события А и В: т.е. при такой организации эксперимента события А и В являются зависимыми.

Определение: Вероятность случайного события называется безусловной, если при ее вычислении на комплекс условий, в которых рассматривается это случайное событие, не накладывается никаких дополнительных ограничений. Безусловная вероятность обозначается

Определение: Вероятность случайного события называется условной, если она вычисляется при условии, что произошло другое случайное событие. Условная вероятность обозначается