Тема : скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 1

Тема: скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Декартова система координат

Декартова система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая – осью ординат, а третья – осью аппликат. Начало координат обозначается буквой , координатные оси соответственно символами –  Отложив на осях  в положительном направлении отрезки равные единице масштаба, получим три основных вектора

Рис.9

Декартова система координат в пространстве

 

Пусть -произвольная точка пространства, -ее проекции на координатные оси. Координатами точки  в заданной системе называются числа  где - величина отрезка  оси абсцисс, - величина отрезка  оси ординат, - величина отрезка  оси аппликат. Число  называется абсциссой, y-ординатой, -апликатой точки  Символ  обозначает, что точка  имеет координаты

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки

 

то

 

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве то

 

 

Если точка  делит отрезок в соотношении  от то координаты этой точки определяются так:

 

 

В частном случае координаты середины отрезка находятся как

 

 

Линейные операции над векторами в координатах.

Пусть заданы векторы  тогда

 

Расстояние между двумя точками определяется по формуле

 

Рассмотрим пример. Даны точки  на прямой найти точку делящую отрезок  в отношении

Следовательно, - искомая точка.

Рассмотрим пример. На оси найти точку, равноудаленную от точек и

Должно выполняться равенство Так как точка лежит на оси то ее координаты Тогда

 

 

 

 

 

Применение векторного произведения векторов к решению задач

Площадь параллелограмма построенного на векторах  вычисляется по формуле

 

 

 

Площадь треугольника построенного на векторах  вычисляется по формуле

 

 

Рассмотрим пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках

Найдем координаты векторов  и , на которых построен треугольник

 

 

Векторное произведение векторов  и

 

 

Вычислим площадь треугольника  

 

Лекция №2

Вопросы для самоконтроля

1 Запишите уравнение прямой , проходящей через две различные точки  и .

2 Запишите общее уравнение прямой (изобразите прямую на плоскости). Чем задается прямая заданная общим уравнением?

3 Укажите взаимное расположение двух прямых на плоскости, прямые заданы через угловые коэффициенты.

4 Запишите уравнение прямой  проходящей через  с угловым коэффициентом .

5 Укажите способы взаимного расположения двух прямых на плоскости, если прямые заданы общими уравнениями.

6 Сформулируйте признаки параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

7 Выведите формулу расстояния от точки  до прямой : .

8 Запишите уравнение прямой , проходящей через точку  с направляющим вектором .

9 Выведите нормальное уравнение прямой . Укажите связь общего уравнение прямой с нормальным уравнением.

10 Запишите параметрическое уравнение прямой на плоскости (изобразите прямую).

11 Выведите уравнение прямой , проходящей через  с нормальным вектором .

12 Запишите уравнение прямой  с угловым коэффициентом  и расстоянием .

13 Запишите уравнение прямой в отрезках (изобразите прямую на плоскости).

14 Дано уравнение  Чем задается данная прямая?

15 Дан треугольник АВС. Координаты точек: А (2; -4), В (-2; –1), С (2;0). Найти уравнение сторон треугольника АВС

16 Дан треугольник АВС. Координаты точек А (2; -4), В (-2; –1), С (2;0). Найти уравнение медианы ВМ, опущенной из вершины В на сторону АС и уравнение высоты ВК.

17 Составить уравнение прямой , проходящей через точку М (1; 3) и направляющий вектор

18 Составить уравнение прямой , проходящей через точку Р (3; -2) и нормальный вектор .

19 Найти расстояние от точки А (2; 1) до прямой : .

20 Даны точки А(2,-1) и В(-3,4). Найти координаты точки С, которая является серединой отрезка АВ.

 

Практическое занятие № 1

Уравнение прямой. Способы задания прямой. Взаимное расположение прямых

 

Задача 1  Построить и составить уравнение прямой :

а) , ;         б) , ;

в) , ;      г) , ;

д) , ;           е) т. , ;

ж) проходящей через 2 различные точки  и ;

з) проходящей через точку  перпендикулярно прямой , проходящей через точки  и , где , ;

и) проходящей точка  параллельно прямой , проходящей через точки  и , где , ;

к) проходящей через точку  и направляющий вектор ;

л) проходящей через точку  с нормальным вектором .

 

Решение. а) Так как  (  - ордината точки пересечения прямой с осью ) и (  - угол, который прямая образует с положительным направлением оси ). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

,

.

 

Ответ.                                                                       Рисунок 18

б) Так как  (  - ордината точки пересечения прямой с осью ) и  (  - угол, который прямая образует с положительным направлением оси ). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

,

.

 

 

        

 

 

 Ответ.                                                                    Рисунок 19

 

 

в) Так как ( - расстояние, которое отсекает прямая на оси ) и , т.е. прямая перпендикулярно оси .

 

                                                       

Ответ.                                                             Рисунок 20

 

 

г) Так как , . Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

.

 

Ответ.                                                                Рисунок 21

 

 

д) Так как ,  (  - угловой коэффициент прямой). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом

 

      .

	O
			2 3

 

 

Ответ.                                                           Рисунок 22

 

е) Так как дана точка  лежащая на прямой и угловой коэффициент , воспользуемся формулой

, ,

.

 

 

Ответ.                                                           Рисунок 23

        

ж) Уравнение прямой, проходящей через две различные точки  и  выглядит следующим образом:

 

.

 

 

             Рисунок 24

 

.                                                                                   

 

 

Ответ.                                                                        

з) Уравнение прямой, проходящей через т.  перпендикулярно прямой , где ,  выглядит следующим образом:

Составим уравнение прямой :

.

.

Уравнение : . Угловой коэффициент прямой : . Так как прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты противоположны по знаку и обратны по значению, т.е. . Воспользуемся формулой .

 

Ответ.                                                               Рисунок 25                                                 

 

 

и) Уравнение прямой  составили в предыдущем примере : .

Так как по условию две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е.  угловой коэффициент для нашей прямой будет тоже равен 2.

,

.

 

 

Ответ.                                                                Рисунок 26

                    

 

 к) Уравнение прямой, проходящей через точку  и направляющий вектор  задается уравнением: .

 

 

Ответ.                                                            Рисунок 27

 

 

л) Общее уравнение прямой, проходящей через точку с нормальным вектором , выглядит следующим образом: . Таким образом, уравнение прямой, проходящей через т.  с нормальным вектором ,  будет следующим:

,

.

 

 

Ответ.                                                                  Рисунок 28

 

Задача 2 Определить взаимное расположение прямых:

а) , ;          б) , ;

в) , ,   г) , .

 

Решение. а) , .

1 способ. Найдем угол между двумя прямыми, если прямые заданы через угловые коэффициенты. От общего уравнения прямой   

перейдем к уравнению прямой через угловой коэффициент

 и воспользуемся формулой

2 способ. Найдем угол между двумя прямыми, если прямые заданы в общем виде: .

,  Воспользуемся формулой .

Ответ.

б) , .

1 способ. Аналогично, от общего уравнения прямой   

перейдем к уравнению прямой через угловой коэффициент  : .  Угловые коэффициенты противоположны по знаку и обратны по значению или . Следовательно, прямые перпендикулярны, т.е. угол между ними .

2 способ. Прямые заданы в общем виде . Найдем скалярное произведение векторов  и :  нормальные вектора  и  перпендикулярны  прямые пересекаются под углом .

Ответ.

в) , .

1 способ. Прямые заданы в общем виде , . Перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой через угловой коэффициент 

и найдем угловые коэффициенты прямых

Угловые коэффициенты равны, т.е.

 следовательно, прямые параллельны.

 

2 способ. Так как прямые заданы в общем виде , то запишем координаты нормальных векторов  и : . Так как координаты векторов  и  пропорциональны, то вектора коллинеарны .

Нормальные вектора коллинеарны, следовательно, прямые параллельны.

 

Ответ. Прямые параллельны

г) , .

1 способ. Перейдем от общего уравнения прямой   

к уравнению прямой через угловой коэффициент и найдем угловые коэффициенты прямых 

, ; ,

Следовательно, прямые совпадают, так как  и .

2 способ. Так как прямые заданы в общем виде , то запишем координаты нормальных векторов  и : . Так как координаты векторов  и  пропорциональны и отношение свободных членов тоже равно , т. е. . Таким образом, справедлива формула  прямые совпадают.

Ответ. Прямые совпадают

 

Задача 3 При каких значениях  и  две прямые ,

а) параллельны;

б) совпадают;

в) имеют общую точку.

Решение. Прямые на плоскости могут быть либо параллельными, т.е. ; либо совпадать ; либо пересекаться  

а) ,

. ;. .

б) прямые совпадают тогда и только тогда, когда .

в) При  и  прямые имеют общую точку.

Ответ. а) при  и  прямые параллельны;

б) при  и  прямые совпадают;

в) при  и  прямые имеют общую точку

 

Задача 4 Привести общее уравнение прямой к нормальному виду:

а) ;      б) ;    в) .

Решение. а) Прямая задана в общем виде  Приведем к нормальному виду Найдем нормирующий множитель . Так как , то . Умножим общее уравнение на нормирующий множитель .

 

б) ,

Так как , то : .

 

в) , . Так как , то : , .

 

Ответ. а) ;    б) ;       в)

Задача 5 Вычислить расстояние  между прямыми:

а) , ; б) , .

 

Решение. а)Исследуем данные прямые как они расположены друг относительно друга , , .

Так как  прямые параллельны. Найдем расстояние между параллельными прямыми. На прямой  найдем точку; пусть , тогда . Точка .

По формуле , найдем расстояние от точки , т.е.  до прямой , т.е. .

.

 

б) Исследуем расположение данных прямых  и .

,           ,

Используя формулу

получим  Следовательно, прямые совпадают и расстояние между ними равно нулю ().

 

Ответ. а) ;         б)

Задача 6 При каких значениях  следующие пары прямых  и : а) параллельны; б) перпендикулярны: :  и : ;

Решение. 1 способ. а)  и .

Две прямые  и  параллельны (), если нормальные вектора  и  коллинеарны. , .

б) Если две прямые  и  перпендикулярны (), то нормальные вектора  и  ортогональны : , , .

2 способ. Запишем уравнения прямых через угловые коэффициенты.

а) ,   и ,

Прямые , если угловые коэффициенты прямых равны. Приравняем угловые коэффициенты прямых .

б) Используем признак перпендикулярности двух прямых, если прямые заданы в общем виде. Прямые  перпендикулярны, если угловые коэффициенты прямых противоположны по знаку и обратны по значению ,

 

Ответ. а) 4; б)

Задача 7 Через точку пересечения прямых ,  проведена прямая, параллельная прямой .

 

Решение. Найдем точку пересечения прямых  и . Решим систему линейных уравнений

Точка пересечения двух прямых . Так как прямые параллельны, то нормальные вектора коллинеарны: .

 - уравнение прямой, проходящей через точку  с нормальным вектором .

 

Ответ.

 

Задача 8 Найти координаты точки , симметричной точке  относительно прямой .

 

                                                   Рисунок 29

 

Решение. Найдем уравнение прямой , проходящей через точку  и перпендикулярной данной прямой  по формуле : , .

Так как точка  лежит на , то ее координаты удовлетворяют уравнению , т.е. .

Найдем расстояние от точки  до прямой .

.

Найдем точку пересечения двух прямых:

.

Точка .

Найдем расстояние , которое равно :

.

Решим систему уравнений:

,

,

 

Ответ.

Задача 9 Определить при каком значении  три прямые , ,  будут пересекаться в одной точке.

Решение. Для того, чтобы найти при каком значении  три прямые будут пересекаться в одной точке, необходимо решить систему уравнений:

 

Ответ.

Домашнее задание № 1